向量测度

给定集合域 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ 及巴拿赫空间 ${\displaystyle X}$ ，有限加性向量测度（finitely additive vector measure）简称测度，是一个满足以下条件的函数${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ ：针对任二个${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内的不交集${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ ，下式均成立：

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$ 

向量测度${\displaystyle \mu }$ 称为可数加性（countably additive）若针对任意${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内不交集形成的序列 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ，都可以让${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内的联集满足以下条件

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$ 

等号右边的级数会收敛到巴拿赫空间${\displaystyle X}$ 的范数。

可以证明向量测度${\displaystyle \mu }$ 有可数加性，当且仅当针对任何以上的序列${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ，下式均成立

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\qquad \qquad (*)}$ 

其中${\displaystyle \|\cdot \|}$ 是${\displaystyle X}$ 的范数。

在Σ-代数中定义的可数加性向量测度，会比有限测度（测度的值为非负数）、有限有号测度（英语：signed measure）（测度的值为实数）及复数测度（英语：complex measure）（测度的值为复数）要广泛。

考虑一个由${\displaystyle [0,1]}$ 区间的集合形成的场，以及此区间内所有勒贝格测度形成的族${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 。针对任意集合${\displaystyle A}$ ，定义

${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}}$ 

其中${\displaystyle \chi }$ 是${\displaystyle A}$ 的指示函数。依${\displaystyle \mu }$ 的定义不同，会得到不同的结果。

• ${\displaystyle \mu }$ 若是从${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 到Lp空间 ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$ 的函数，${\displaystyle \mu }$ 是没有可数加性的向量测度。
• ${\displaystyle \mu }$ 若是从${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 到L^p空间 ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ 的函数，${\displaystyle \mu }$ 是有可数加性的向量测度。

依照上一节的判别基准(*)可以得到以上的结果。

给定向量测度${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X,}$ ，其变差（variation）${\displaystyle |\mu |}$ 定义如下

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$ 

其中最小上界是针对所有${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中${\displaystyle A}$ ，所有将${\displaystyle A}$ 划分到有限不交集的划分

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$ 

此处，${\displaystyle \|\cdot \|}$ 为${\displaystyle X}$ 的范数。

${\displaystyle \mu }$ 的变差是有限可加函数，其值在${\displaystyle [0,\infty ]}$ 之间，会使下式成立

${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$ 

针对任意在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内的${\displaystyle A}$ 。若${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$ 是有限的，则测度${\displaystyle \mu }$ 有有界变差（bounded variation）。可以证明若${\displaystyle \mu }$ 为具有有界变差的向量测度，则${\displaystyle \mu }$ 具有可数加性当且仅当${\displaystyle |\mu |}$ 具有可数加性。

在向量测度的理论中，李亚普诺夫（英语：Alexey Lyapunov）的定理提到non-atomic 向量测度的值域是闭集及凸集^[1][2][3] 。而且non-atomic 向量测度的值域是高维环面（zonoid，是闭集及凸集，是环带多面体收敛序列的极限）^[2]。李亚普诺夫定理有用在数理经济学^[4][5]、起停式控制的控制理论^[1][3][6][7]及统计理论（英语：statistical theory）^[7]。 李亚普诺夫定理已可以用沙普利－福克曼引理证明^[8]，后者可以视为是李亚普诺夫定理的离散化版本^[7][9][10]。

书籍

• Cohn, Donald L. Measure theory reprint. Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. 1997: IX+373 [1980]. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001. 
• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. Vector measures. Mathematical Surveys 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1977: xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6. 
• Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
• van Dulst, D., Vector measures, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Rudin, W. Functional analysis. New York: McGraw-Hill. 1973: 114. 

• 博赫纳积分