耿贝尔分布

耿贝尔分布的累积分布函数为

${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}.\,}$ 

标准耿贝尔分布

标准的耿贝尔分布是${\displaystyle \mu =0}$ 和${\displaystyle \beta =1}$ 时的特例，其累积分布函数为

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,}$ 

概率密度函数为

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$ 

此时，众数为 0，中位数为${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$ ，均值为${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$  （ 欧拉-马斯刻若尼常数），标准差为${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825}$ 。

对于 n>1，累积量由下式给出

${\displaystyle \kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n)}$ 

众数为 μ，中位数为${\displaystyle \mu -\beta \ln \left(\ln 2\right)}$ ，平均值是

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +\gamma \beta }$  ,

其中${\displaystyle \gamma }$ 是欧拉-马斯刻若尼常数。

标准差 ${\displaystyle \sigma }$  是${\displaystyle \beta \pi /{\sqrt {6}}}$ ，因此${\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi \approx 0.78\sigma .}$  ^[3]

在众数处，${\displaystyle x=\mu }$ ，${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )}$ 的值变为${\displaystyle e^{-1}\approx 0.37}$  ，与${\displaystyle \beta }$ 的取值无关。

• 如果${\displaystyle X}$ 具有耿贝尔分布，则Y= − X的条件分布在Y为正的情况下，或等效地在X为负的情况下具有Gompertz分布。 Y的 cdf G与X的 cdf F相关，公式如下${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y|X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$ 要求y > 0。因此，两者概率密度函数相关：${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$  ： Gompertz 密度与反射的 Gumbel 密度成正比，仅限于正半线。 ^[4]
• 如果X是均值为 1 的指数分布变量，则− log( X ) 服从标准 Gumbel 分布。
• 如果${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )}$ 和${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}$ 是独立的，那么${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}$  （见Logistic分布）。
• 如果${\displaystyle X,Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$ 是独立的，那么${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )}$  。注意${\displaystyle E(X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =E\left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$  。更一般地，独立 Gumbel 随机变量的线性组合的分布可以用 GNIG 和 GIG 分布来近似。 ^[5]

与广义多变量对数伽马分布相关的理论提供了耿贝尔分布的多变量版本。

Gumbel 表明，随着样本量的增加，将服从指数分布的随机变量减去样本量^[7]的自然对数，其最大值的分布（或最后一阶统计量）接近耿贝尔分布。 ^[8]

具体来说，如果令${\displaystyle \rho (x)=e^{-x}}$ 是${\displaystyle x}$ 的概率分布，${\displaystyle Q(x)=1-e^{-x}}$ 是其累积分布，那么对${\displaystyle x}$ 的${\displaystyle N}$ 次实现（realizations）的最大值小于${\displaystyle X}$ 当且仅当所有${\displaystyle x}$ 的实现都小于${\displaystyle X}$  。所以最大值的累积分布${\displaystyle {\tilde {x}}}$ 满足：

${\displaystyle P({\tilde {x}}-\log(N)\leq X)=P({\tilde {x}}\leq X+\log(N))=[Q(X+\log(N))]^{N}=\left(1-{\frac {e^{-X}}{N}}\right)^{N}}$ 

并且，对于较大的${\displaystyle N}$ ，等式右边收敛到${\displaystyle e^{-e^{(-X)}}}$ 。

因此，在水文学中，耿贝尔分布用于分析日降雨量和河流流量的月度和年度最大值等变量， ^[3]也用于描述干旱。 ^[9]

Gumbel 还表明，表示事件的概率的估计量^r⁄_(n+1)——其中r是观察值在数据序列中的排名， n是观察的总数——是分布的众数周围的累积分布函数的无偏估计量。因此，这个估计量经常被用作分位图。

在数论中，耿贝尔分布近似于随机整数分拆的项数^[10]以及最大素数间隙和素数星座之间的最大间隙的趋势调整大小。 ^[11]

Gumbel 重参数化技巧

在机器学习中，耿贝尔分布有时用于从分类分布中生成样本。这种技术称为“Gumbel-max技巧”，是“重参数化技巧”的一个特例。 ^[12]

具体而言，令${\displaystyle (\pi _{1},...,\pi _{n})}$ 非负且不全为零，并且让${\displaystyle g_{1},...,g_{n}}$ 是Gumbel(0, 1)的独立样本，则

等价地，给定任何${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$  ，我们可以从它的玻尔兹曼分布中采样：

• 如果${\displaystyle x\sim Exp(\lambda )}$  ， 那么${\displaystyle (-\ln x-\gamma )\sim {\text{Gumbel}}(-\gamma +\ln \lambda ,1)}$  。
• ${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$  。
• ${\displaystyle \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Gumbel}}\left(-\gamma +\log \left(\sum _{i}\pi _{i}\right),1\right)}$  。也就是说，Gumbel 分布是一个最大稳定分布族。
• ${\displaystyle \mathbb {E} [\max _{i}(g_{i}+\beta x_{i})]=\log \left(\sum _{i}e^{\beta x_{i}}\right)}$  。

耿贝尔分布的分位数函数（逆累积分布函数） ${\displaystyle Q(p)}$ 可由下式给出

${\displaystyle Q(p)=\mu -\beta \ln(-\ln(p)),}$ 

其中${\displaystyle \mu }$ 和${\displaystyle \beta }$ 是参数，当随机变量${\displaystyle U}$ 是从${\displaystyle (0,1)}$  上的均匀分布中抽取时，变量${\displaystyle Q(U)}$ 具有服从耿贝尔分布。

概率纸

在软件时代之前，人们使用概率纸描绘耿贝尔分布（见插图）。这种纸基于累积分布函数的${\displaystyle F}$ 的线性化：

${\displaystyle -\ln[-\ln(F)]=(x-\mu )/\beta }$ 

在纸上，水平轴以双对数刻度构建。垂直轴是线性的。通过在纸张的水平轴上寻找${\displaystyle F}$ ，在垂直轴上寻找 ${\displaystyle x}$  ，耿贝尔分布由斜率为${\displaystyle 1/\beta }$  的直线表示。当像CumFreq这样的分布拟合软件可用时，绘制分布的任务变得更加容易。

• 2型Gumbel分布
• 极值理论
• 广义极值分布
• Fisher-Tippett-Gnedenko定理
• 埃米尔·朱利叶斯·冈贝尔

1. ^ Gumbel, E.J., Les valeurs extrêmes des distributions statistiques (PDF), Annales de l'Institut Henri Poincaré, 1935, 5 (2): 115–158 
2. ^ Gumbel E.J. (1941). "The return period of flood flows". The Annals of Mathematical Statistics, 12, 163–190.
3. ^ ^{3.0 3.1} Oosterbaan, R.J. http://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf |chapterurl=缺少标题 (帮助) (PDF). Ritzema, H.P. (编). Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). 1994: 175–224. ISBN 90-70754-33-9. 
4. ^ Willemse, W.J.; Kaas, R. Rational reconstruction of frailty-based mortality models by a generalisation of Gompertz' law of mortality (PDF). Insurance: Mathematics and Economics. 2007, 40 (3): 468. doi:10.1016/j.insmatheco.2006.07.003. 
5. ^ Marques, F.; Coelho, C.; de Carvalho, M. On the distribution of linear combinations of independent Gumbel random variables (PDF). Statistics and Computing. 2015, 25: 683‒701. doi:10.1007/s11222-014-9453-5. 
6. ^ CumFreq, software for probability distribution fitting
7. ^ user49229, Gumbel distribution and exponential distribution
8. ^ Gumbel, E.J. Statistical theory of extreme values and some practical applications. Applied Mathematics Series 33 1st. U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards. 1954. ASIN B0007DSHG4. 
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12. ^ Jang, Eric; Gu, Shixiang; Poole, Ben. Categorical Reparametrization with Gumble-Softmax. International Conference on Learning Representations (ICLR) 2017. April 2017. 
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