哈密顿-雅可比方程

哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程。用数学表达

${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(q_{1},\ \dots ,q_{N};\ {\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\ \dots ,\ {\frac {\partial S}{\partial q_{N}}};\ t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$  ；

其中，${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  是哈密顿量，未知函数 ${\displaystyle S(q_{1},\ \dots ,\ q_{N};\ a_{1},\ \dots ,\ a_{N};\ t)}$  称为哈密顿主函数，${\displaystyle (q_{1},\ \dots ,\ q_{N})}$  是广义坐标，${\displaystyle (a_{1},\ \dots ,\ a_{N})}$  是积分常数，${\displaystyle t}$  是时间。

假若能够找到哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$  的形式，就可以计算出广义坐标 ${\displaystyle (q_{1},\ \dots ,\ q_{N})}$  与广义动量 ${\displaystyle (p_{1},\ \dots ,\ p_{N})}$  随时间的演变。这样，可以完全地解析物理系统随时间的演化。

哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程；其中，函数 ${\displaystyle S(q_{1},\ \dots ,\ q_{N};\ a_{1},\ \dots ,\ a_{N};\ t)}$  有 ${\displaystyle N}$  个广义坐标 ${\displaystyle q_{1},\dots ,q_{N}}$  ，和 ${\displaystyle N}$  个独立的积分常数${\displaystyle (a_{1},\ \dots ,\ a_{N})}$  。在 HJE 中，哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$  有一个很有意思的属性，它是一种经典作用量。

与拉格朗日力学的拉格朗日方程比较，哈密顿力学里使用共轭动量而非广义速度。并且，哈密顿方程乃是一组 ${\displaystyle 2N}$  个一阶微分方程，用来表示 ${\displaystyle N}$  个广义坐标和 ${\displaystyle N}$  个广义动量随时间的演变，而拉格朗日方程则是一组 ${\displaystyle N}$  个二阶微分方程，用来表示 ${\displaystyle N}$  个广义坐标随时间的演变。

因为 HJE 等价于一个最小积分问题（像哈密顿原理）， HJE 可以用于许多关于变分法的问题。更推广地，在数学与物理的其它分支，像动力系统、辛几何、量子混沌理论，都可以用 HJE 来解析问题。例如，HJE 可以用来找寻黎曼流形的测地线，这是黎曼几何一个很重要的变分法问题。

在哈密顿力学里，正则变换将一组正则坐标 ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$  变换为一组新的正则坐标 ${\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$  ，而同时维持哈密顿方程的型式（称为型式不变性）。旧的哈密顿方程为

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}}$  ，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}}$  ；

新的哈密顿方程为

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}}$  ，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}}$  ；

这里，${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$  、${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  分别为旧的哈密顿量与新的哈密顿量，${\displaystyle t}$  是时间。

假若，使用第二型生成函数 ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  来生成新正则坐标，则新旧正则坐标的关系为

${\displaystyle {\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {p} }$  ，

${\displaystyle {\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {Q} }$  。

而新旧哈密顿量的关系为

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$  。

（条目正则变换有更详细的说明。）

哈密顿主函数

假若，可以找到一个第二型生成函数 ${\displaystyle S=G_{2}}$  。这生成函数使新哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  恒等于 0 。称这个生成函数 ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$  为哈密顿主函数。那么，新哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  所有的偏导数都等于 0 。哈密顿方程也变得非常的简单：

${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0}$  。

这样，新正则坐标都成为运动常数 ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},\ \ldots ,\ a_{N})}$  、 ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}=(b_{1},\ \ldots ,\ b_{N})}$  ：

${\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {a}}}$  ，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {b}}}$  。

由于 ${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}}$  ，代入旧哈密顿量，则可得到哈密顿-雅可比方程：

${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},\ t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$  。

解析问题的重要关键是必须找到哈密顿主函数 ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}},\ t)}$  的方程。一旦找到这方程，因为

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}},\ t)}{\partial \mathbf {q} }}}$  ，(1)

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {b}}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}},\ t)}{\partial {\boldsymbol {a}}}}}$  。(2)

给予 ${\displaystyle \mathbf {q} }$  与 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  在时间 ${\displaystyle t=t_{0}}$  的初始值， ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$  与 ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$  ，可以求出运动常数 ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$  ，${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$  。知道这两组运动常数，立刻可以得到旧正则坐标 ${\displaystyle \mathbf {q} }$  与 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  随时间的演变。

哈密顿特征函数

假设，哈密顿量不显含时：${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=0}$  。那么，

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=0}$  。

哈密顿量是一个运动常数，标记为 ${\displaystyle a_{\mathcal {H}}}$  ：

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}$  ，

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}={\mathcal {K}}-{\mathcal {H}}=-a_{\mathcal {H}}}$  。

哈密顿主函数可以分离成两部分：

${\displaystyle S=W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})-a_{\mathcal {H}}t}$  ；

其中，不含时间的函数 ${\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})}$  称为哈密顿特征函数。

思考一个新的正则变换。设定哈密顿特征函数 ${\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})}$  为一个第二型生成函数 ${\displaystyle G_{2}}$  ：

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}}$  ，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {a}}}}}$  。

那么，哈密顿-雅可比方程变为

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }})=a_{\mathcal {H}}}$  。

由于哈密顿特征函数不显含时，新旧哈密顿量的关系为

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}-a_{\mathcal {H}}}$  ；

新正则坐标随时间的导数变为

${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\!}$  ，

${\displaystyle {\dot {Q}}_{1}={\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial a_{1}}}=1}$  ，${\displaystyle \qquad \qquad }$ 设定 ${\displaystyle a_{1}}$  为 ${\displaystyle a_{\mathcal {H}}}$  ，

${\displaystyle {\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial a_{i}}}=0}$  ，${\displaystyle \qquad \qquad }$ ${\displaystyle i>1}$  。

所以，新正则坐标变为

${\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {a}}}$  ，

${\displaystyle Q_{1}=t+b_{1}}$  ，

${\displaystyle Q_{i}=b_{i},\qquad \qquad I>1}$  。

假若，能找到哈密顿特征函数 ${\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})}$  ，给予旧广义坐标 ${\displaystyle \mathbf {q} }$  与旧广义动量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  在时间 ${\displaystyle t=t_{0}}$  的初始值， ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$  与 ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$  ，依照前面所述方法，就可以求出旧正则坐标随时间的演变。

哈密顿-雅可比方程最有用的时候，是当它可以使用分离变数法，来直接地辨明运动常数。假设，HJE 可以分为两部分。一部分只跟广义坐标 ${\displaystyle q_{k}}$  、哈密顿主函数的偏导数 ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}$  有关，标记这部分为 ${\displaystyle \psi \left(q_{k},\ {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}$  。另一部分跟 ${\displaystyle q_{k}}$  、 ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}$  无关。对于这状况，哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$  可以分离为两个函数。一个函数 ${\displaystyle S_{k}}$  除了广义坐标 ${\displaystyle q_{k}}$  以外，跟任何其它广义坐标无关。另外一个函数 ${\displaystyle S_{\rm {rem}}}$  跟 ${\displaystyle q_{k}}$  无关。

${\displaystyle S=S_{k}(q_{k};\ \mathbf {P} )+S_{\rm {rem}}(q_{1},\ \dots ,\ q_{k-1},\ q_{k+1},\ \ldots ,\ q_{N};\ \mathbf {P} ;\ t)}$  。

由于每一个广义动量都是运动常数，${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {a} }$  ，函数 ${\displaystyle S_{k}}$  只跟广义坐标 ${\displaystyle q_{k}}$  有关：

${\displaystyle S_{k}(q_{k};\ \mathbf {P} )=S_{k}(q_{k})}$  ，

${\displaystyle \psi \left(q_{k},\ {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)=\psi \left(q_{k},\ {\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\psi (q_{k})}$  。

若将哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$  代入 HJE，则可以观察到，${\displaystyle q_{k}}$  只出现于函数 ${\displaystyle \psi }$  内部，而不出现于 HJE 的任何其它地方。所以，函数 ${\displaystyle \psi }$  必须等于常数（在这里标记为 ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ）。这样，可得到一个一阶常微分方程：

${\displaystyle \psi \left(q_{k},\ {\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)=\Gamma _{k}}$  。

在某些问题里，很幸运地，函数 ${\displaystyle S}$  可以完全的分离为 ${\displaystyle N}$  个函数 ${\displaystyle S_{k}(q_{k})}$ ：

${\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-a_{\mathcal {H}}t}$  。

这些问题的偏微分方程可以分离为 ${\displaystyle N}$  个常微分方程。

哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$  的可分性，相关于哈密顿量和广义坐标的选择。假若，一个物理系统符合施特克尔条件 (Staeckel conditions) ，则哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$  可以完全分离。以下为用几种正交坐标来完全分离 HJE 的例子。

球坐标系

采用球坐标 ${\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )}$  ，假设一个物理系统的哈密顿量为

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\ \theta ,\ \phi )}$  ；

其中，${\displaystyle (p_{r},\ p_{\theta },\ p_{\phi })}$  是广义动量，${\displaystyle U}$  为位势函数，不含时间。

那么，哈密顿-雅可比方程可以表达为

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \theta }}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {\partial S}{\partial \phi }}\right)^{2}\right]+U(r,\ \theta ,\ \phi )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$  ；

其中，${\displaystyle S}$  是哈密顿主函数。

假若，位势函数 ${\displaystyle U(r,\ \theta ,\ \phi )}$  的形式可以进一步设定为

${\displaystyle U(r,\ \theta ,\ \phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}}$  ；

其中， ${\displaystyle U_{r}(r)}$  、 ${\displaystyle U_{\theta }(\theta )}$  、 ${\displaystyle U_{\phi }(\phi )}$  ，都是任意函数；则 HJE 是完全可分的。将完全分离的解答 ${\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-a_{\mathcal {H}}t}$  代入 HJE ，会得到方程

${\displaystyle \left[\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+2mU_{r}(r)\right]+{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=2ma_{\mathcal {H}}}$  。

变数 ${\displaystyle \phi }$  只出现于公式左手边的第三个方括弧内；其它变数都不出现于公式的这部分。所以，可以将这部分孤立出来，成为一个常微分方程：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }}$  ；

其中，${\displaystyle \Gamma _{\phi }}$  是运动常数。

简化的 HJE 跟 ${\displaystyle \phi }$  无关：

${\displaystyle \left[\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+2mU_{r}(r)\right]+{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=2ma_{\mathcal {H}}}$  。

同样地，可以将变数 ${\displaystyle \theta }$  出现的部分孤立出来，成为一个常微分方程：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }}$  ；

其中，${\displaystyle \Gamma _{\theta }}$  是运动常数。

剩下的是一个径向距离函数 ${\displaystyle S_{r}}$  的常微分方程。：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+2mU_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{r^{2}}}=2ma_{\mathcal {H}}}$  。

这样，可以完全地分离 HJE 。

椭圆柱坐标系

采用椭圆柱坐标 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ z)}$  ，假设假设一个物理系统的哈密顿量为

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\ \nu ,\ z)}$ 

其中，${\displaystyle (p_{\mu },\ p_{\nu },\ p_{z})}$  是广义动量，${\displaystyle U}$  为位势函数，不含时间。

那么，哈密顿-雅可比方程可以表达为

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2ma^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial \mu }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial \nu }}\right)^{2}\right]+{\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}+U(\mu ,\ \nu ,\ z)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$  。

假若，位势函数 ${\displaystyle U(\mu ,\ \nu ,\ z)}$  的形式可以进一步设定为

${\displaystyle U(\mu ,\ \nu ,\ z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}$  ；

其中，${\displaystyle U_{\mu }(\mu )}$  、 ${\displaystyle U_{\nu }(\nu )}$  、 ${\displaystyle U_{z}(z)}$  ，都是任意函数；则 HJE 是完全可分的。猜想一个完全分离解答 ${\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-a_{\mathcal {H}}t}$  。将这猜想公式代入 HJE ，

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=a_{\mathcal {H}}}$  。

公式左手边的前两个项目只跟变量 ${\displaystyle z}$  有关；其它的项目都跟 ${\displaystyle z}$  无关。所以，可以将那两个项目分离出来，成为一个常微分方程：

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$  ；

其中，${\displaystyle \Gamma _{z}}$  是运动常数。

简化的 HJE 跟 ${\displaystyle z}$  有关：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(a_{\mathcal {H}}-\Gamma _{z}\right)}$  。

这公式又可以分离成两个相互独立的常微分方程：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }}$  ，

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)\sin ^{2}\nu =-\Gamma _{\mu }}$  。

其中，${\displaystyle \Gamma _{\mu }}$  是运动常数。

这样，可以完全地分离 HJE 。

抛物柱面坐标系

采用抛物柱面坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  ，假设假设一个物理系统的哈密顿量为

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  ；

其中，${\displaystyle (p_{\sigma },\ p_{\tau },\ p_{z})}$  是广义动量，${\displaystyle U}$  为位势函数，不含时间。

那么，哈密顿-雅可比方程可以表达为

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial \sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial \tau }}\right)^{2}\right]+{\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}+U(\sigma ,\ \tau ,\ z)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$  。

假若，位势函数 ${\displaystyle U(\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  的形式可以进一步设定为

${\displaystyle U(\sigma ,\ \tau ,\ z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)}$  ；

其中，${\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )}$  、 ${\displaystyle U_{\tau }(\tau )}$  、 ${\displaystyle U_{z}(z)}$  ，都是任意函数；则 HJE 是完全可分的。猜想一个完全分离解答 ${\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-a_{\mathcal {H}}t}$  。将这猜想公式代入 HJE ，

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=a_{\mathcal {H}}}$  。

公式左手边的前两个项目只跟变量 ${\displaystyle z}$  有关；其它的项目都跟 ${\displaystyle z}$  无关。所以，可以将那两个项目分离出来，成为一个常微分方程：

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$  ；

其中，${\displaystyle \Gamma _{z}}$  是运动常数。

简化的HJE跟 ${\displaystyle z}$  无关：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(a_{\mathcal {H}}-\Gamma _{z}\right)}$  。

这公式又可以分离成两个相互独立的常微分方程：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)=\Gamma _{\sigma }}$  ，

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)=-\Gamma _{\sigma }}$  ；

其中，${\displaystyle \Gamma _{\sigma }}$  是运动常数。

这样，可以完全地分离HJE。

“哈密顿类比”是威廉·哈密顿在研究经典力学时给出的理论，又称为“光学-力学类比”；哈密顿指出，在经典力学里粒子的运动轨道，就如同在几何光学里光线的传播路径；垂直于这轨道的等作用量曲面，就如同垂直于路径的等传播时间曲面；描述粒子运动的最小作用量原理，就如同描述光线传播的费马原理。哈密顿发现，使用哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用量原理与费马原理；同样的形式论，可以描述光的物理行为，不论光是由遵守费马原理的光线组成，还是由遵守最小作用量原理的粒子组成。^[1]

很多光的性质，例如，衍射、干涉等等，无法用几何光学的理论来作解释，必须要用到波动光学的理论来证实。这意味着几何光学不等价于波动光学，几何光学是波动光学的波长超短于粒子轨道曲率半径的极限案例。哈密顿又研究发现，使用哈密顿-雅可比方程也可以描述波动光学里遵守惠更斯原理的光波，只要将光线的等传播时间曲面改为光波的波前。薛定谔寻思，经典力学与量子力学之间的关系，就如同几何光学与波动光学之间的关系；哈密顿-雅可比方程应该对应于量子力学的波动方程在某种极限的案例，而这极限应该也是物质波波长超短于粒子轨道曲率半径的极限（或按照对应原理，普朗克常数趋于0的极限）；按照先前哈密顿类比的模式，依样画葫芦，应该可以找到正确形式的波动方程。这想法很正确，经过一番努力，他成功地推导出薛定谔方程。^[1][2]

粒子方程⇒波动方程

设想一个粒子，运动于一个保守的位势 ${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$  ，它的哈密顿-雅可比方程为^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$  ；

其中，${\displaystyle S(\mathbf {r} ,\ {\boldsymbol {a}};\ t)}$  是哈密顿主函数。

由于位势与时间无关，哈密顿主函数可以分离成两部分：

${\displaystyle S=W(\mathbf {r} ,\ {\boldsymbol {a}})-Et}$  ；

其中，不含时的函数 ${\displaystyle W(\mathbf {r} ,\ {\boldsymbol {a}})}$  是哈密顿特征函数，${\displaystyle E}$  是能量。

将哈密顿主函数的公式代入哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到

${\displaystyle |{\boldsymbol {\nabla }}S|={\sqrt {2m(E-U)}}}$  ；

哈密顿主函数对于时间的全导数是

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$  。

哈密顿主函数 ${\displaystyle S}$  的常数等值曲面 ${\displaystyle \sigma _{0}}$  在空间移动的方程为

${\displaystyle 0={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=-E+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$  。

所以，在设定等值曲面的正负面后，${\displaystyle \sigma _{0}}$  朝着法线方向移动的速度 ${\displaystyle u}$  是

${\displaystyle u={\frac {dr}{dt}}={\frac {E}{|\nabla S|}}={\frac {E}{\sqrt {2m(E-U)}}}}$  。

这速度 ${\displaystyle u}$  是相速度，而不是粒子的移动速度 ${\displaystyle v}$  ：

${\displaystyle v={\frac {|{\boldsymbol {\nabla }}S|}{m}}={\sqrt {\frac {2(E-U)}{m}}}}$  。

想像 ${\displaystyle \sigma _{0}}$  为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与 ${\displaystyle S}$  成比例的波函数：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=A(\mathbf {r} )e^{iS/\kappa }}$  ；

其中，${\displaystyle \kappa }$  是常数，${\displaystyle A(\mathbf {r} )}$  是跟位置有关的系数函数。

将哈密顿主函数的公式代入 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$  波函数，

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\kappa }}$  。

注意到 ${\displaystyle E/\kappa }$  的量纲必须是频率，薛定谔突然想到爱因斯坦的光电效应理论 ${\displaystyle E=\hbar \omega }$  ；其中，${\displaystyle \hbar }$  是约化普朗克常数，${\displaystyle \omega }$  是角频率。他尝试设定 ${\displaystyle \kappa =\hbar }$  ，粒子的波函数 ${\displaystyle \Psi }$  变为

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\hbar }=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}$  ；

其中，${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{iW(\mathbf {r} )/\hbar }}$  。

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$  的波动方程为

${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0}$  。

将 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$  波函数代入波动方程， 经过一番运算，得到

${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}u^{2}}}\Psi =\nabla ^{2}\Psi -{\frac {2m(E-U)}{\hbar ^{2}}}\Psi =0}$  。

注意到 ${\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}$  。稍加编排，可以推导出含时薛定谔方程：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+U\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}}$  。

波动方程⇒粒子方程

逆反过来，从薛定谔方程开始：^[3]:102-103

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+U\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}}$  。

猜想 ${\displaystyle \Psi }$  的形式为

${\displaystyle \Psi =\psi (\mathbf {r} )e^{iS(\mathbf {r} ,\,t)/\hbar }}$  。

将 ${\displaystyle \Psi }$  代入薛定谔方程，稍加运算，可以得到

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S}$  。

取经典极限，${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$ ，则可得到哈密顿-雅可比方程：

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$  。

由于这取极限的动作，在希尔伯特空间里对于态向量的描述改变为在相空间里对于粒子位置与动量的描述。薛定谔方程属于线性方程，假若${\displaystyle \chi _{1}}$ 、${\displaystyle \chi _{2}}$ 皆是薛定谔方程的解答，则它们的线性叠加${\displaystyle c_{1}\chi _{1}+c_{2}\chi _{2}}$ 必定也是解答，其中${\displaystyle c_{1}}$ 、${\displaystyle c_{2}}$ 皆是复系数。哈密顿-雅可比方程属于非线性方程，假若${\displaystyle f_{1}}$ 、${\displaystyle f_{2}}$ 皆是哈密顿-雅可比方程的解答，则它们的线性叠加${\displaystyle c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}}$ 必定不是解答。这意味着，在量子力学可以观察得到的量子叠加现象，无法出现在经典力学。但是，简单地推论，经典力学应是量子力学的极限案例，为什么量子叠加现象无法出现于经典力学里？这不仅仅是个理论问题，在实验室里，时常可以观察到微观粒子呈现出量子叠加现象，为什么无法观察到宏观物体呈现出同样的现象^[4]:第1A节？更详尽内容，请参阅条目量子退相干。

重力场可以用哈密顿-雅可比方程表达为

${\displaystyle g^{ik}{\frac {\partial {S}}{\partial {x^{i}}}}{\frac {\partial {S}}{\partial {x^{k}}}}-m^{2}c^{2}=0}$  ；

其中，${\displaystyle g^{ik}}$  是度规张量逆变 (contravariant) 分量，${\displaystyle m}$  是固有质量，${\displaystyle c}$  是光速。

• 哈密顿方程
• 作用量
• 作用量-角度坐标
• 拉普拉斯-龙格-楞次向量

1. Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826。
2. Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518。
3. Eisenhart L.P., "Separable Systems of Stackel", "The Annals of Mathematics", 2nd Ser., Vol. 35, No. 2 (Apr., 1934), pp. 284-305
4. Eisenhart L.P., "Separable Systems in Euclidean 3-Space", "Physical Review", vol. 45, Issue 6, pp. 427-428。
5. H. Goldstein. Classical Mechanics. Addison Wesley. 2002.  
6. A. Fetter and J. Walecka. Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. 2003. ISBN 978-0-486-43261-8. 
7. Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam … Tokyo, 1975。