无平方因子数

无平方因子数^[1]（英语：square-free integer）是指其约数中，没有一个是平方数的正整数。简言之，将一个这样的数予以素因数分解后，所有素因数的幂都不会大于或等于2。例如：54= $2\times 3^{3}$ ），所以54不是无平方因子数；而55= $5\times 11$ ，55没有约数是平方数，所以55是无平方因子数。

前20个无平方约数的数是：1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31（OEIS数列A005117）

由于无平方因子数的所有素因数指数均为一次方，故除1以外，有关数的正约数数目必定是2的非负整数次方。

将无平方因子数分解为两数之积，这两数一定互素。^{[查证请求]}^{[来源请求]}^{[原创研究？]}

依定义，显然所有的素数、楔形数、素数阶乘与有4个正约数的半素数都是无平方因子数。

不含平方因子的数的分布

如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数，则：

Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})

因此，不含平方因子的数的自然密度为：

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}

其中ζ是黎曼ζ函数。

类似地，如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数，则我们可以证明：

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x,n)}{x}}={\frac {1}{\zeta (n)}}.

^ 张鸿林; 葛显良. 英汉数学词汇. 清华大学出版社. 2005: 703. ISBN 9787302098935. square-free number 无平方因子数