域 (数学)

非正式的讲，域是种集合，集合中的元素可以做两种运算，"加法"：${\displaystyle a+b}$  和"乘法"： ${\displaystyle a\cdot b}$ , 且要求集合中任意元素 ${\displaystyle a}$  有加法逆元 ${\displaystyle -a}$ ，对所有非零元素 ${\displaystyle b}$  有乘法逆元 ${\displaystyle b^{-1}}$ ，这种性质让我们可以用以下方法来定义加法和乘法的"反运算"，减法：${\displaystyle a-b}$  和除法 ${\displaystyle a/b}$ 

${\displaystyle a-b=a+(-b)}$ 

${\displaystyle a/b=a\cdot b^{-1}}$ 

定义1

域是交换性除环。

定义2

域是一种交换环(F, +, *)，当中加法单位元（0）不等于乘法单位元（1），且所有非零元素有乘法逆元。更简单讲就是：域是可交换除环。

定义3

域是个集合 ${\displaystyle F}$  且带有加法和乘法两种运算，这里“运算”可以想成是种映射，对${\displaystyle \forall a,b\in F}$ ，这映射将此两元素对应到某元素，且这些运算满足如下性质：

在加法和乘法两种运算上封闭

${\displaystyle \forall a,b\in F}$ ，${\displaystyle a+b}$ 和${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle \in F}$ （另一种说法：加法和乘法是${\displaystyle F}$ 上的二元运算）。

加法和乘法符合结合律

${\displaystyle \forall a,b,c\in F}$ ，${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ，${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$ 

加法和乘法符合交换律

${\displaystyle \forall a,b\in F}$ ，${\displaystyle a+b=b+a}$ ，${\displaystyle a*b=b*a}$ 

符合乘法对加法的分配律

${\displaystyle \forall a,b,c\in F}$ ，${\displaystyle a*(b+c)=(a*b)+(a*c)}$ 

存在加法单位

在${\displaystyle F}$ 中有元素${\displaystyle 0}$ ，使得${\displaystyle \forall a\in F}$ ，${\displaystyle a+0=a}$ 

存在乘法单位

在${\displaystyle F}$ 中有不等于${\displaystyle 0}$ 的元素${\displaystyle 1}$ ，使得${\displaystyle \forall a\in F}$ ，${\displaystyle a*1=a}$ 

存在加法逆元

${\displaystyle \forall a\in F}$ ，${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle -a}$ 使得${\displaystyle a+(-a)=0}$ 

非零元素存在乘法逆元

${\displaystyle \forall a\in F}$  , ${\displaystyle a\neq 0}$ ，${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle a^{-\!1}}$ 使得${\displaystyle a*a^{-1}=1}$ 

其中“元素${\displaystyle 0}$ 不同于元素${\displaystyle 1}$ ”的要求排除了平凡的只由一个元素组成的域。

由以上性质可以得出一些最基本的推论：

${\displaystyle -(a\times b)=(-a)\times b}$ 

${\displaystyle a\times 0=0}$ 

若${\displaystyle a\times b=0}$ ，则${\displaystyle a=0}$ 或${\displaystyle b=0}$ 。

• 许多常见的数域都是域。比如说，全体复数的集合${\displaystyle \mathbb {C} }$ 对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 也是一个域，它是${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的子域，并且不包含更小的子域了。
• 代数数域：代数数域是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的有限扩域，也就是说代数数域是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的有限维向量空间。代数数域都同构于${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的子域，并且这个同构保持${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
• 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ 。${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ 是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的代数闭包（见下）。${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ 是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
• 全体实数的集合${\displaystyle \mathbb {R} }$ 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
• 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的一个子域
• 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作F_q，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域：F₂。F₂只含有两个元素0和1，运算法则如下：

• 设E和F是两个域，E是F的子域，则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域，记作E (x)，E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说，复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 就是实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 在${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中关于虚数单位i的单扩张
• 每一个有乘法幺元的环R都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。
• 设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
• 设F是一个域，p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式，则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说，R[X]/<X² + 1>是一个域（同构于复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ ）。可以证明，F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
• 若V是域F上的一个代数簇，则所有V → F 的有理函数构成一个域，称为V的函数域。
• 若S是一个黎曼曲面，则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
• 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ 的所有自然数构成的子集）都是域。

• 域F中的所有非零元素的集合（一般记作F^×）是一个关于乘法的阿贝尔群。F^×的每个有限子群都是循环群。
• 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数p，要么是0（表示这样的n不存在）。此时${\displaystyle F}$ 中最小的子域分别是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 或有限域${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ，称之为${\displaystyle F}$ 的素域。
• 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
• 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。

有限域是一个域有着有限多个元素，其元素个数也跟域的阶数相同，按照域的定义，可以知道${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 为最小的有限域，因为根据定义，一个域至少包含两个元素${\displaystyle 1\neq 0}$ 。

通常来说，最简单的素数阶域，就是${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,...n-1\}}$ ，在这个域上的加法与乘法等同于在整数${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Z} } }$ 上的运算，然后除以n，取它的余数。这个运算精确的建构了一个域，如果说这个n为素数，通常我们将这个域记作${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 。

如果我们将向量空间${\displaystyle {\mathit {V}}=\mathbb {F} _{p}/m^{n}}$ ，则我们将V称作有限域向量空间，其中${\displaystyle n=\dim {\mathit {V}}}$ ，可知这个向量空间中，有${\displaystyle p^{n}}$ 个元素。

如果我们将有限域放入矩阵，也就是${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {F} _{p})}$ ，则此矩阵的元素有${\displaystyle (p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})}$ 

历史上，三个代数中的学科导引到了域的概念:第一个是解多项式方程的问题，第二个是代数数论，第三个则是代数几何的问题。域的概念始于1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他观察到关于三次方程的根x₁, x₂, x₃的排列，在以下的表达

(x₁ + ωx₂ + ω²x₃)³

(其中ω是三次方程的单位根)只产生两个值。在这方向上，拉格朗日概念上的解释了由 希皮奥内·德尔·费罗 和 弗朗索瓦·韦达 的经典解法，其解法借由简化三次方程关于未知 x 到一个 x³的二次方程。四次方程上也和三次方程一样有相似的观察，拉格朗日因此连结的关于域的概念还有群的概念。数学家范德蒙也同样在1770年有着更全面的延伸。

请参见伽罗瓦理论

• 特征 (代数)
• 环论
• 域论
• 有序域