特殊直角三角形

特殊直角三角形是一些有特殊性质的直角三角形,其特殊性质可能是使三角形的计算更加方便,或是存在一些较简单的公式。例如有些三角形的内角有一些简单的关系,例如45–45–90度三角形,这是各角有特殊关系的直角三角形。也有些直角三角形的各边有特殊关系,例如各边的比例可以用自然数表示,例如3 : 4 : 5,或是可以用黄金比例表示等。若在处理这些三角形时知道其特殊的边关系或角关系,可以快速的计算一些几何问题而不需用到一些较复杂的公式。

欧拉图表示三角形中一些特殊的三角形

各角有特殊关系

 
45–45–90度三角形及30–60–90度三角形都是有特殊角的直角三角形,角度分别是30度及45度的倍数

直角三角形的各角有其基本关系:最大角(直角)为90度,也等于另外二角的和。但有些直角三角形的各角还有其他特殊关系。

直角三角形的边长一般会用单位圆或其他几何方式推导而成,若角度为30°, 45°或60°,其三角函数的数值计算会比其他的角度会简单很多。

以下是一些特殊角的三角函数

角度 弧度 sin cos tan
0 0      
30        
45        
60        
90        
45–45–90
30–60–90

45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三种莫比斯三角形,任一内角都可以找到对应整数,使内角和整数的乘积为180,参照三角形群英语Triangle group

45–45–90度三角形

 
45–45–90度三角形的边长

在平面几何中,将正方形绘制一条对角线会产生一个角度比例为1 : 1 : 2的三角形,而内角和为180度(或是π弧度),因此各角角度为45° (π/4)、45° (π/4)和90° (π/2)。依毕氏定理可得其边长比例为1 : 1 : √2,因此45–45–90度三角形为等腰直角三角形。若绘制45–45–90度三角形斜边的中线,中线会将45–45–90度三角形分割为另外二个较小的45–45–90度三角形,边长是原来的1/√2。

45–45–90度三角形为等腰直角三角形,在平面几何中,这也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不过在球面几何学双曲几何中,有无限种也是等腰三角形的直角三角形。

30–60–90度三角形

 
30–60–90度三角形的边长

若三角形各角的比例是1 : 2 : 3,其各角角度会是30°、60°和90°。各边的比例会是1 : √3 : 2。

使用三角函数可以证明上述的事实.利用几何学的证明如下:

绘制边长为2的正三角形ABC,并令D点为线段BC的中点。连接线段AD,则三角形ABD为 30–60–90度三角形,其斜边长度为2,一股BD长度为1。
另一股AD的长度为√3,可以由毕氏定理求得。

30–60–90度三角形是平面几何中唯一一个角度呈等差数列的直角三角形。其证明很简单:假设三个角的角度为等差数列,可以表示为为α, α+δ, α+2δ,因为内角和为180°,可得3α+3δ = 180°,其中有一角会是60度,而且最大角需为90度,因此最小角会是30度。

角度呈等比数列的直角三角形

在平面几何中,30–60–90度三角形是唯一一个角度呈等差数列的直角三角形,角度呈等比数列的直角三角形也只有一种,其角度为π/(2φ2)[1]、π/(2φ)、π/2,其中公比为黄金比例φ。三个内角的比例为 

根据正弦定律,各边的比例会是 。因为各边长的关系也要满足毕氏定理,因此可得 [注 1]

另外,存在以下的恒等式[来源请求]

 [注 2]

有趣的是,若将余弦函数以指数来表示,可以得到一个“黄金比例恒等式”,其中有出现黄金比例φ,和出现在欧拉恒等式中的五个数学基本常数π, e, i, 1, 0(不过欧拉恒等式比较简洁):

 

各边有特殊关系

若三角形各边为整数,三角形的三边称为勾股数,其各角的角度不会是整数[2]。这类的直角三角形容易记忆,而且三角形的各边比例只要一様,即为相似三角形,就会有一様的特质。利用欧几里得产生勾股数的公式,勾股数的比例比必定满足以下的关系

 

其中mn均为正整数,而且m>n

常见的勾股数

以下是前五个勾股数:

3: 4 :5
5: 12 :13
8: 15 :17
7: 24 :25
9: 40 :41

其中3 : 4 : 5三角形是唯一边长呈等差数列的直角三角形,在埃及称为“埃及三角形”[3]。由勾股数的有理数组成的三角形都是海伦三角形,表示其边长和面积都是有理数。

以下是所有二股都小于256的互质勾股数组:

3: 4 :5
5: 12 :13
8: 15 :17
7: 24 :25
9: 40 :41
11: 60 :61
12: 35 :37
13: 84 :85
15: 112 :113
16: 63 :65
17: 144 :145
19: 180 :181
20: 21 :29
20: 99 :101
21: 220 :221
24: 143 :145     
28: 45 :53
28: 195 :197
32: 255 :257
33: 56 :65
36: 77 :85
39: 80 :89
44: 117 :125
48: 55 :73
51: 140 :149
52: 165 :173     
57: 176 :185
60: 91 :109
60: 221 :229
65: 72 :97
84: 187 :205
85: 132 :157
88: 105 :137
95: 168 :193
96: 247 :265
104: 153 :185
105: 208 :233
115: 252 :277
119: 120 :169
120: 209 :241
133: 156 :205
140: 171 :221
160: 231 :281
161: 240 :289
204: 253 :325
207: 224 :305

斐波那契三角形

从5开始,斐波那契数列中的第6项、第8项、第10项...等偶数项(假设0为第1项){0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 为边长为整数的直角三角形的斜边,也就是勾股数中最大的一项。二股中较长的一股为上一个斐波那契三角形的三边和,较短一股为跳过的斐波那契数减去上一个斐波那契三角形的最短边。

第一个斐波那契三角形边长为5, 4和3。跳过数字8,下一个斐波那契三角形边长为13, 12(5 + 4 + 3)和5(8 − 3)。跳过数字21,下一个三角形边长为34, 30(13 + 12 + 5)和16(21 − 5)。此数列会一直延伸,最后会趋近以下的比值:

 

Andrew Clarke建议将长度比例为: 的三角形称为dom,因为此三角形可以由二格骨牌(domin)延对角线切割而成,此三角形是约翰·何顿·康威查尔斯·雷丁英语Charles Radin提出的非周期性英语aperiodic tiling风车贴砖英语pinwheel tiling的基础。

几乎等腰的直角三角形

等腰直角三角形的三边不可能都是整数,但存在无限个“几乎等腰”的直角三角形,也就是直角三角形的边长为整数,而且二股长度只差一[4]。这类几乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程递回求解而得:

a0 = 1, b0 = 2
an = 2bn–1 + an–1
bn = 2an + bn–1

an为斜边的长度,n = 1, 2, 3, ....。最小的几个三角形如下

3 : 4 : 5
20 : 21 : 29
119  : 120 : 169
696  : 697 : 985
4059  : 4060 : 5741
23660  : 23661 : 33461

各边呈等比数列的三角形

 
开普勒三角的三边分别组成的正方形,面积呈等比数列,其公比为黄金比例

开普勒三角形是特殊的直角三角形,它的三边之比等于 ,为等比数列,其中 黄金比 .德国数学家天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。

相关条目

注释

  1. ^ 根据黄金比例的定义, ,由于 ,因此原式成立。
  2. ^ 根据黄金比例的定义, ,因此 
    或者, ,故 ,此两角度互补,其cos值为相反数。

参考资料

  1. ^ OEIS:A180014
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Rational Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2013-08-31]. (原始内容存档于2021-03-14) (英语). 
  3. ^ A. Aleksei Petrovich Stakhov. Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer. World Scientific. 2009: p.86. ISBN 9812775838. 
  4. ^ C.C. Chen and T.A. Peng. Almost-isosceles right-angled triangles (PDF). University of Queensland. [2013-09-02]. (原始内容存档 (PDF)于2012-02-17). 

外部链接