特殊直角三角形
特殊直角三角形是一些有特殊性质的直角三角形,其特殊性质可能是使三角形的计算更加方便,或是存在一些较简单的公式。例如有些三角形的内角有一些简单的关系,例如45–45–90度三角形,这是各角有特殊关系的直角三角形。也有些直角三角形的各边有特殊关系,例如各边的比例可以用自然数表示,例如3 : 4 : 5,或是可以用黄金比例表示等。若在处理这些三角形时知道其特殊的边关系或角关系,可以快速的计算一些几何问题而不需用到一些较复杂的公式。
各角有特殊关系
直角三角形的各角有其基本关系:最大角(直角)为90度,也等于另外二角的和。但有些直角三角形的各角还有其他特殊关系。
直角三角形的边长一般会用单位圆或其他几何方式推导而成,若角度为30°, 45°或60°,其三角函数的数值计算会比其他的角度会简单很多。
以下是一些特殊角的三角函数
角度 | 弧度 | sin | cos | tan |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | |||
30 | ||||
45 | ||||
60 | ||||
90 |
45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三种莫比斯三角形,任一内角都可以找到对应整数,使内角和整数的乘积为180,参照三角形群。
45–45–90度三角形
在平面几何中,将正方形绘制一条对角线会产生一个角度比例为1 : 1 : 2的三角形,而内角和为180度(或是π弧度),因此各角角度为45° (π/4)、45° (π/4)和90° (π/2)。依毕氏定理可得其边长比例为1 : 1 : √2,因此45–45–90度三角形为等腰直角三角形。若绘制45–45–90度三角形斜边的中线,中线会将45–45–90度三角形分割为另外二个较小的45–45–90度三角形,边长是原来的1/√2。
45–45–90度三角形为等腰直角三角形,在平面几何中,这也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不过在球面几何学或双曲几何中,有无限种也是等腰三角形的直角三角形。
30–60–90度三角形
若三角形各角的比例是1 : 2 : 3,其各角角度会是30°、60°和90°。各边的比例会是1 : √3 : 2。
- 绘制边长为2的正三角形ABC,并令D点为线段BC的中点。连接线段AD,则三角形ABD为 30–60–90度三角形,其斜边长度为2,一股BD长度为1。
- 另一股AD的长度为√3,可以由毕氏定理求得。
30–60–90度三角形是平面几何中唯一一个角度呈等差数列的直角三角形。其证明很简单:假设三个角的角度为等差数列,可以表示为为α, α+δ, α+2δ,因为内角和为180°,可得3α+3δ = 180°,其中有一角会是60度,而且最大角需为90度,因此最小角会是30度。
角度呈等比数列的直角三角形
在平面几何中,30–60–90度三角形是唯一一个角度呈等差数列的直角三角形,角度呈等比数列的直角三角形也只有一种,其角度为π/(2φ2)[1]、π/(2φ)、π/2,其中公比为黄金比例φ。三个内角的比例为 。
根据正弦定律,各边的比例会是 。因为各边长的关系也要满足毕氏定理,因此可得 [注 1]。
另外,存在以下的恒等式[来源请求]:
有趣的是,若将余弦函数以指数来表示,可以得到一个“黄金比例恒等式”,其中有出现黄金比例φ,和出现在欧拉恒等式中的五个数学基本常数π, e, i, 1, 0(不过欧拉恒等式比较简洁):
各边有特殊关系
若三角形各边为整数,三角形的三边称为勾股数,其各角的角度不会是整数[2]。这类的直角三角形容易记忆,而且三角形的各边比例只要一様,即为相似三角形,就会有一様的特质。利用欧几里得产生勾股数的公式,勾股数的比例比必定满足以下的关系
其中m和n均为正整数,而且m>n。
常见的勾股数
以下是前五个勾股数:
3: 4 :5 5: 12 :13 8: 15 :17 7: 24 :25 9: 40 :41
其中3 : 4 : 5三角形是唯一边长呈等差数列的直角三角形,在埃及称为“埃及三角形”[3]。由勾股数的有理数组成的三角形都是海伦三角形,表示其边长和面积都是有理数。
以下是所有二股都小于256的互质勾股数组:
3: 4 :5 5: 12 :13 8: 15 :17 7: 24 :25 9: 40 :41 11: 60 :61 12: 35 :37 13: 84 :85 15: 112 :113 16: 63 :65 17: 144 :145 19: 180 :181 20: 21 :29 20: 99 :101 21: 220 :221
24: | 143 | :145 | |
---|---|---|---|
28: | 45 | :53 | |
28: | 195 | :197 | |
32: | 255 | :257 | |
33: | 56 | :65 | |
36: | 77 | :85 | |
39: | 80 | :89 | |
44: | 117 | :125 | |
48: | 55 | :73 | |
51: | 140 | :149 |
52: | 165 | :173 | |
---|---|---|---|
57: | 176 | :185 | |
60: | 91 | :109 | |
60: | 221 | :229 | |
65: | 72 | :97 | |
84: | 187 | :205 | |
85: | 132 | :157 | |
88: | 105 | :137 | |
95: | 168 | :193 | |
96: | 247 | :265 |
104: | 153 | :185 |
---|---|---|
105: | 208 | :233 |
115: | 252 | :277 |
119: | 120 | :169 |
120: | 209 | :241 |
133: | 156 | :205 |
140: | 171 | :221 |
160: | 231 | :281 |
161: | 240 | :289 |
204: | 253 | :325 |
207: | 224 | :305 |
斐波那契三角形
从5开始,斐波那契数列中的第6项、第8项、第10项...等偶数项(假设0为第1项){0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 为边长为整数的直角三角形的斜边,也就是勾股数中最大的一项。二股中较长的一股为上一个斐波那契三角形的三边和,较短一股为跳过的斐波那契数减去上一个斐波那契三角形的最短边。
第一个斐波那契三角形边长为5, 4和3。跳过数字8,下一个斐波那契三角形边长为13, 12(5 + 4 + 3)和5(8 − 3)。跳过数字21,下一个三角形边长为34, 30(13 + 12 + 5)和16(21 − 5)。此数列会一直延伸,最后会趋近以下的比值:
Andrew Clarke建议将长度比例为: 的三角形称为dom,因为此三角形可以由二格骨牌(domin)延对角线切割而成,此三角形是约翰·何顿·康威及查尔斯·雷丁提出的非周期性风车贴砖的基础。
几乎等腰的直角三角形
等腰直角三角形的三边不可能都是整数,但存在无限个“几乎等腰”的直角三角形,也就是直角三角形的边长为整数,而且二股长度只差一[4]。这类几乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程递回求解而得:
- a0 = 1, b0 = 2
- an = 2bn–1 + an–1
- bn = 2an + bn–1
an为斜边的长度,n = 1, 2, 3, ....。最小的几个三角形如下
3 : 4 : 5 20 : 21 : 29 119 : 120 : 169 696 : 697 : 985 4059 : 4060 : 5741 23660 : 23661 : 33461
各边呈等比数列的三角形
开普勒三角形是特殊的直角三角形,它的三边之比等于 ,为等比数列,其中 是黄金比, .德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。
相关条目
- 整数三角形
- 螺旋特奥多鲁斯
- 直角三角形
注释
参考资料
- ^ OEIS:A180014
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Rational Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2013-08-31]. (原始内容存档于2021-03-14) (英语).
- ^ A. Aleksei Petrovich Stakhov. Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer. World Scientific. 2009: p.86. ISBN 9812775838.
- ^ C.C. Chen and T.A. Peng. Almost-isosceles right-angled triangles (PDF). University of Queensland. [2013-09-02]. (原始内容存档 (PDF)于2012-02-17).
外部链接
- 3 : 4 : 5 triangle (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 30-60-90 triangle (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 45-45-90 triangle (页面存档备份,存于互联网档案馆)