辛矩阵

数学中,扭对称矩阵是指一个矩阵M(通常布于实数复数域上),使之满足

其中转置矩阵,而是一个固定的可逆斜对称矩阵;这类矩阵在适当的变化后皆能表为

两者的差异仅在于基的排列,其中 单位矩阵。此外, 行列式值等于一,且其逆矩阵等于

性质

凡扭对称矩阵皆可逆,其逆矩阵可表为

 

其中,反对称矩阵 具有如下运算性质:

  ,
  ,
  ,
 

此外,扭对称矩阵构成的集合在矩阵乘法下封闭,因此一个域 上的所有 阶扭对称矩阵构成一个,记为 。事实上它是 的闭代数子群,其维度为 。当 时, 带有自然的(复)李群结构。

由定义可知扭对称矩阵的行列式等于 ;事实上,可以利用普法夫值的公式:

 

由于  ,遂导出 

 时,有 。换言之:二阶扭对称矩阵即行列式等于一的二阶矩阵。

扭对称变换

线性代数的抽象框架里,我们可以用偶数维向量空间 上的线性变换取代偶数阶矩阵,并固定一个非退化反对称双线性形 以取代矩阵 (赋有这类双线性形的空间称为扭对称向量空间),如此便得到与基底无关的定义:

定义。一个扭对称向量空间 上的线性变换 若满足
 
则称 为扭对称变换。

考虑 ,由于 ,故 ;另一方面, ,于是得到 。由此导出扭对称变换之行列式值等于一。

固定 的一组基,借此将 写成矩阵 ,并将 表成斜对称矩阵 ,便回到先前的定义:

 

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