典范型
有限秩算子类似有限大小的矩阵,但是放在无穷维空间中。于是,可藉线性代数技巧刻画其性质。
由线性代数知,复矩阵 之秩为1,当且仅当 可以写成:
- 其中 且
同样可证希氏空间 上,算子 之秩为1,当且仅当
-
其中 与有限维情况满足同等条件。由此,用数学归纳法,可证秩 的算子 必可写成
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其中 和 皆为标准正交基。前述表示法实质等同于奇异值分解,可以称为有限秩算子的“典范型”(canonical form)。
略加推广,若 改为可数无穷,而正实数列 仅会聚于0,则 为紧算子,相应的和式称为紧算子的典范型。
若级数 (迹)收敛,则 是迹类算子。
代数性质
希氏空间 上,全体有限秩算子之族 是有界算子代数 的双边*理想。此外,其为此类(非零)理想中最小者,即 的任何双边*理想 必包含全体有限秩算子。简证如下:取非零算子 ,则有非零的 使 。衹需证对任意 ,将 映至 的秩1算子 属于 。同样定义 和 ,则有
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从而 在 中,证毕。
的双边*理想举例有迹类、希尔伯特-施密特算子类、紧算子类。三类各自配备范数,而 在此三个赋范空间中稠密。
由于 的每个双边理想都包含 , 为单代数当且仅当有限维。