物质导数

物质导数有很多其他名称，包括：

• 随流导数（advective derivative）^[4]
• 对流导数（convective derivative）^[5]
• 随体导数（derivative following the motion）^[1]
• 水动力导数（hydrodynamic derivative）^[1]
• 拉格朗日导数（Lagrange derivative）^[6]
• 随质点导数（particle derivative）^[7]
• 随质导数（substantial derivative）^[1]
• 实质导数（substantive derivative）^[8]
• 斯托克斯导数（Stokes derivative）^[8]
• 全导数（total derivative）^[1][9]，虽然物质导数实际上是全导数的特殊个案^[9]。

对于任何宏观张量场y（也就是说只取决于时间和空间坐标，y = y(x, t)），其物质导数的定义如下：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,}$ 

其中∇y为张量的协变导数，而u(x, t)则为流速。一般来说场u·∇y的对流导数，就是包含场的协变导数的那一个，可被诠释为u·(∇y)的流线（英语：Streamline (fluid dynamics)）张量导数（英语：tensor derivative (continuum mechanics)），又或是场(u·∇) y涉及流线的方向导数，而两者的结果相同^[10]。 只有这个包含流速的空间项在描述场流中的运输作用，而另一个项只是在描述场的内禀差异，因此与任何流的存在无关。令人混乱的是，有时会使用“对流导数”一词来称呼整个物质导数D/Dt，而不是称呼u·∇这个空间项^[2]。在定义中与时间无关项的效果，在标量场和向量场的个案中分别被称为平流（英语：advection）和对流。

标量和向量场

比方说，对于宏观标量场φ(x, t)和宏观向量场A(x, t)，物质导数定义会变成：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{aligned}}}$ 

在标量个案中的∇φ就只是标量的梯度，而在向量个案中的∇A则是宏观向量的协变导数（可被视为作为x的函数的A的雅可比矩阵）。 特别是三维平面直角坐标系(x₁, x₂, x₃)中的标量场，速度u的分量为u₁、 u₂、u₃，而对流项则为：

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}$ 

已知标量φ = φ(x, t)，其中t为时间，x为位置。这里的φ可能是物理量，例如温度或化学浓度。这个标量为φ的物理量存在于连续介质，而介质的宏观速度可被向量场u(x, t)所表示。

用链式法则展开φ对时间的的（全）导数可得：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}$ 

很明显这个导数取决于向量

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}$ 

它描述的是空间中的“被选择”的路径。举例说，若被选择的是${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }$ ，则时间导数变成与时间偏导数相等，与偏导数的定义一致：对某变量（本例为时间）取导数时保持其他变量不变（本例为空间）。这是合理的，因为若${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}$ ，则取导数的位置是固定的。这个静位置导数叫欧拉导数。

这个个案的另一个例子是站着不动的泳客在清晨感知到湖中的温度变化：湖水因为太阳的加热而变得愈来愈暖。在这个个案中${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}}$  一项足够描述温度的变化率。

若太阳没有加热湖水（即${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$ ），但路径x(t)不是静止，则φ的时间导数可能随路径改变。例如说，想像泳客所在的池水没有运动，并且在室内不受太阳影响。一端刚好处于固定的高温，而另一端则处于固定的低温。泳客通过从一端游到另一端感知到温度随着时间的变化，即使温度在某（静止）点不变。这是因为取时间导数时泳客的位置在改变，而右边第二项${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }$ 不足以描述温度的变化。附在泳客身上的温度感应器可以展示出随时间变化的温度，这个变化纯粹是因为泳池一端与另一端的温度差异。

最终取物质导数时所选择的路径x(t)，其速度等于流体速度

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}$ 

也就是说，路径跟随了由流体速度场u所描述的流体流。因此，标量φ的物质导数为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}$ 

在这个案中可举一个例子，一个轻量的自然浮点在流动的河上飘着，同时亦经历到温度转变。局部河水的温度增加，可能因为河上的光影分布，又或是整条河在整天的过程中被加热。由浮点运动所引起的转变（由流体运动导致的自身运动）被称为“平流（英语：advection）”（若向量正被传递则改称为对流）。

上述的定义取决于流体流的物理性质。然而，这情况不需使用任何物理定律（比方说，假设轻量质点在河上会跟随河水的速度），但实验上许多物理概念可用物质导数来精确描述。但是一般的平流个案取决于流体流的质量守恒；若平流发生于非守恒介质，则情况会稍为不同。

上述的标量只考虑了一条路径。对向量而言，梯度变成了张量导数；对张量场而言，可能要考虑的不仅是由流体移动所引起的坐标系统平移，还有其旋转和伸展。以上可经由使用上对流时间导数（英语：upper convected time derivative）来实现。

可以证明在正交坐标系中，物质导数的对流项中的第j分量如下^[11]：

${\displaystyle [\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}$ 

其中h_i 与度量张量的关系由下式表示：

${\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}$ 

在三维平面直角坐标系(x, y, z)的特殊个案中，当中A为1-张量（有三个分量的向量），则其物质导数只是：

${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}.}$ 

• Cohen, Ira M.; Kundu, Pijush K. Fluid Mechanics 4th. Academic Press（英语：Academic Press）. 2008. ISBN 978-0-12-373735-9. 
• Lai, Michael; Krempl, Erhard; Ruben, David. Introduction to Continuum Mechanics 4th. Elsevier. 2010. ISBN 978-0-7506-8560-3.