导出函子

同调代数中,阿贝尔范畴间的某类函子可以“求导”,以获得相应的导出函子。此概念可以融贯数学中许多领域里的具体构造。

动机

考虑导出函子的原始目的是从一个短正合序列造出一个长正合序列。具体言之:给定两个阿贝尔范畴  ,及其间的加法函子  。假设   为左正合函子,换言之,对   中的任一短正合序列

 

下列序列是正合的:

 

由此自然导出一个问题:如何自然地延长此正合序列?  的(右)导出函子是一族函子  ,满足  ,且有相应的长正合序列:

 

导出函子可以视为   的右正合性的尺度。

构造与初步性质

右导出函子

今假设   中有充足的内射元。设  ,根据假设,存在内射分解

 

取函子  ,得到上链复形

 

定义   为其第   个上同调群,特别是有  。注意到两点:

  • 由于任两个内射分解彼此同伦等价,函子   在同构的意义下是明确定义的。
  •   是内射对象,取平凡分解  ,可知当   时有  

左导出函子

左导出函子的建构与右导出函子对偶。设   为右正合加法函子,并假设   有充足的射影元。对任一对象  ,取一射影分解

 

取函子  ,得到链复形:

 

定义   为其第   个同调群,其性质类似右导出函子。

逆变函子的情形

对于逆变函子也能定义导出函子,此时的导出函子也是逆变函子。较有系统的方法是利用反范畴的概念。

长正合序列

对于右导出函子的情形,任一短正合序列   给出长正合序列

 

对于左导出函子,相应的长正合序列形如

 

此外,这些长正合序列在下述意义下是“自然”的:

  • 短正合列之间的态射导出长正合序列间的态射。
  • 函子间的自然变换导出长正合序列尖的态射。

这些性质是蛇引理的推论。

应用

  • 层上同调:对拓扑空间  ,考虑其上的阿贝尔群层构成的范畴,它有充足的内射元。整体截面函子   是左正合函子,相应的右导出函子即层上同调函子  
  • 平展上同调:平展上同调用于概形上的另一种上同调理论。
  • Ext函子:设   为环,考虑  -模范畴,它有充足的内射元及射影元。对任一  -模  ,函子   为左正合的,其右导出函子记为  
  • Tor函子:同样考虑  -模范畴,对任一  -模  ,函子   为右正合的,其左导出函子记为  
  • 群上同调:设  。所谓  -模是指被   作用的阿贝尔群-模范畴可以理解为  -模范畴。对任一  -模  ,定义  ,这是一个左正合函子,其右导出函子即群上同调函子  

推广

现代的导范畴理论为导出函子提供了一套较广的框架。

文献

  • Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1