超积

超积的一般定义中，先选定指标集${\displaystyle I}$ 、对应每个下标${\displaystyle i\in I}$ 的结构${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ （具相同的表征（英语：Signature (logic)）），以及${\displaystyle I}$ 上的超滤子${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 。通常仅考虑${\displaystyle I}$ 为无穷集，且${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 不为主超滤子的情况，即${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 的元素有齐${\displaystyle I}$ 的全部余有限子集，但无任何有限子集。原因是，在主超滤子的情况下，所得的超积只会与其中一个因子同构，并无新的性质。

笛卡儿积

${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}}$ 

上的代数运算，是逐点计。例如，对于二元运算${\displaystyle +}$ ，${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}})_{i}=a_{i}+b_{i}}$ 。然后，在笛氏积上，定义等价关系${\displaystyle \sim }$ ，使${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\sim {\boldsymbol {b}}}$ 当且仅当

${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}}$ 

（应当理解为“${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ 与${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$ 在大多数位置相等”）。

最后，所得的超积，是模${\displaystyle \sim }$ 的商集。所以，该超积有时记为

${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}.}$ 

另一种看法是，在指标集${\displaystyle I}$ 上，定义一个有限可加的测度${\displaystyle m}$ （弱于一般可数可加的条件），仅取${\displaystyle 0,1}$ 二值，若${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ 则称${\displaystyle m(A)=1}$ ，否则称${\displaystyle m(A)=0}$ 。然后在笛氏积中，两个元素若在几乎每个下标处皆相等，则视为等同。超积是如此生成的等价类的集合。

其他关系（英语：relation (mathematics)）同理可作引申：

${\displaystyle R([{\boldsymbol {a}}^{1}],\ldots ,[{\boldsymbol {a}}^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{{\mathcal {M}}_{i}}(a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}},}$ 

其中${\displaystyle [{\boldsymbol {a}}]}$ 表示${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ 模${\displaystyle \sim }$ 所属的等价类。

特别地，若每个${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 皆为有序域，则所得的超积亦然。

所谓超幂，意思是所有因子${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 皆相等的超积：

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{I}/{\mathcal {U}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}/{\mathcal {U}}.\,}$ 

也可以推广到${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 不为超滤子，而仅为${\displaystyle I}$ 上普通一个滤子的情况。此时所得的模型${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}}$ 称为约化积（英语：reduced product）。

超实数系是可数无穷多个（以自然数集编号）实数系的超积，其中所选的超滤子含有全部余有限集。超实数系的大小次序扩展了实数之间的大小次序。例如，${\displaystyle \omega _{n}=n}$ 的序列${\displaystyle (\omega _{n})}$ 所在的等价类，记为超实数${\displaystyle \omega }$ ，比任意实数都要大，因为对于任意实数${\displaystyle r}$ ，${\displaystyle (\omega _{n})}$ 除有限项外皆比${\displaystyle r}$ 大。于是，${\displaystyle \omega }$ 可以理解成无穷大数。

类似地，可以定义非标准整数系（英语：nonstandard integer）、非标准复数系（英语：nonstandard complex numbers）等，为相应标准结构的超积。

又考虑以下例子，以便理解超积中关系的定义。设超实数${\displaystyle \psi }$ 为序列${\displaystyle \psi _{n}=2n}$ 所在的等价类。由于对每个${\displaystyle n}$ 都有${\displaystyle \psi _{n}>n=\omega _{n}}$ ，在超积中，有${\displaystyle \psi >\omega }$ ，所以${\displaystyle \psi }$ 是较原先构造出的${\displaystyle \omega }$ 更大的无穷大数。又考虑与${\displaystyle \omega _{n}=n}$ 类似的序列${\displaystyle (\chi _{n})}$ ，令${\displaystyle n\neq 7}$ 时，${\displaystyle \chi _{n}=n}$ ，但${\displaystyle \chi _{7}=8}$ 。则虽然两个序列${\displaystyle (\chi _{n})\neq (\omega _{n})}$ ，但两者仅在有限个下标处不相等，故两者相等的下标集合是超滤子的元素（因为是余有限集），从而作为等价类，有${\displaystyle \omega =\chi }$ 。

大基数论中，有个标准构造是小心选取超滤子${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ，然后取整个集合论全类关于${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 的超积。此时，${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 的性质，对于所得超积的（高阶）性质影响很大。例如，若${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 可数完备，则相应的超积仍是良基的。该范例在可测基数 § 定义有提及。

沃希定理（英语：Łoś's theorem），又称超积基本定理（英语：fundamental theorem），由耶日·沃希（英语：Jerzy Łoś）所证（波兰语发音：[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ]）。定理断言，任何一条一阶逻辑式在超积${\displaystyle \prod {\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}}$ 中为真，当且仅当使该公式在${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 中成立的指标${\displaystyle i}$ 的集合，是${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 的元素。后一个条件，可以直观理解为“大多数”${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 皆认为该公式为真。严谨叙述如下：

设有表征${\displaystyle \sigma }$ ，指标集${\displaystyle I}$ ，其上的超滤子${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ，且对每个${\displaystyle i\in I}$ ，有${\displaystyle \sigma }$ 结构${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 。又设${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 为${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ 关于${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 之超积，即${\displaystyle {\mathcal {M}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}}$ 。则对任意${\displaystyle n}$ 个多元组${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod {\mathcal {M}}_{i}}$ ，其中${\displaystyle a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}}$ ，以及对任意${\displaystyle \sigma }$ 公式${\displaystyle \varphi }$ ，

${\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi (a^{1},\ldots ,a^{n})\iff \left\{i\in I:{\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}}.}$ 

定理对公式${\displaystyle \varphi }$ 的复杂度归纳得证。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 为超滤子（而不仅是滤子）的性质，在加入否定的一步用到。而在加存在量词的一步，要用到选择公理。应用定理可得超实域的转移原理（英语：transfer principle）。

实例

设${\displaystyle R}$ 为结构${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 上的一元关系，并构造${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 的超幂。则集合${\displaystyle S=\{x\in {\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\models Rx\}}$ 在超幂中有对应的子集${\displaystyle {}^{*}S}$ ，而在${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 中，对${\displaystyle S}$ 量化且为真的一阶公式，将${\displaystyle S}$ 换成${\displaystyle {}^{*}S}$ 后，仍在超幂中成立。例如，设${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbb {R} }$ 为实数集。设${\displaystyle Rx}$ 表示“${\displaystyle x}$ 为有理数”。则在${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 中，对每对有理数${\displaystyle x<y}$ ，总有无理数${\displaystyle z}$ 介于两者之间。即：

${\displaystyle {\mathcal {M}}\models (\forall x)(\forall y)(Rx\wedge Ry\wedge (x<y)\implies (\exists z)(\neg Rz\wedge x<z<y)).}$ 

既然有理数集${\displaystyle S}$ 此一性质可以写成一阶命题，沃希定理推出，超有理数集${\displaystyle {}^{*}S}$ 仍有同一性质，即任意两个超有理数之间，有一个不为超有理数的超实数（“超无理数”）。更一般地，超有理数集与有理数集具有完全一样的一阶性质。

然而，考虑实数的阿基米德性质，即不存在实数${\displaystyle x}$ 同时满足${\displaystyle x>1,\ x>1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots }$ 此列无穷多条不等式。阿基米德性质无法用一阶逻辑表示，所以，沃希定理不适用于此性质，不能推导出超实数满足阿基米德性质。正好相反，超实数不满足阿基米德性质，例如前一节构造的超实数${\displaystyle \omega }${\displaystyle \omega }  ，就比${\displaystyle 1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots }$ 都要大。

模型论和集合论中，常考虑一列超幂的正极限（英语：direct limit）（范畴论的余极限）。模型论中，此构造称为超极限（英语：ultralimit）或极限超幂（英语：limiting ultrapower）。

从某结构${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}}$ 和超滤子${\displaystyle {\mathcal {U}}_{0}}$ 开始，构造出超幂${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ ，并重复，得到${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$ 等。对每个${\displaystyle n}$ ，有典范对角嵌入${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\hookrightarrow {\mathcal {A}}_{n+1}}$ 。在极限阶段，如${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\omega }}$ ，取此前所有结构的正极限，如此便可取超限多次超幂。

• 紧致性定理——若可满足一族一阶句子的任意有限条，则可全部满足
• 勒文海姆–斯科伦定理——一阶理论无法控制无穷模型的大小
• 转移原理（英语：Transfer principle）

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction [模型与超积：导论] reprint of 1974. Dover Publications. 2006 [1969]. ISBN 0-486-44979-3 （英语）. 
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. A Course in Universal Algebra [泛代数教程] Millennium. 2000 [1981] [2021-10-23]. （原始内容存档于2005-01-23） （英语）.