开映射和闭映射

• 定义连续函数f: R → R为f(x)=x²，则f是闭映射，但不是开映射。

• 任何同胚都是既开且闭及连续的。任何双射的连续映射是同胚，当且仅当映射是开映射，或等价地，当且仅当映射是闭映射。

• X上的恒等映射是一个同胚，故为既开且闭的。但如果X是Y的子空间，则仅当X在Y中为开集（闭集）时，从X到Y的包含映射${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ 是开映射（闭映射）。故此映射的到达域需要指明，以辨别映射是否为开或闭映射。

• 定义从[0,2π)到单位圆（视为R²中的圆，原点为圆心）的函数：在[0,2π)中的θ所对应的值，是单位圆上与x轴成角度θ的点。这个函数是双射连续的，所以其从单位圆到[0,2π)的逆函数是既开且闭的。这个逆函数将紧致的单位圆，映射到不是紧致的区间[0,2π)。因此可见开映射和闭映射不保持紧致性，这点与连续映射不同。

• 若Y有离散拓扑，则任何到Y中的映射都是既开且闭，但这映射未必连续。例如从实数集R到整数整Z的取整函数是既开且闭，但不是连续。

• 对于任何拓扑空间的积X = Π X_i，由积拓扑的定义，其投射p_i: X → X_i是开且连续的。不过这投射不一定是闭的：例如令p₁: R² → R是从R²到x轴上的投射，并设A是函数f(x)=1/x的图像，即由全部形如(x,1/x)的点构成的集合。那么A是R²中的闭集，但p₁(A)不是x轴中的闭集。不过若Y为紧致集，则投射X × Y → X是闭映射。

一个映射f: X → Y是开映射当且仅当对X中每一点x及其任何（任意小的）邻域U，都存在f(x)的邻域V使得V ⊂ f(U)。因此若f将X的某个拓扑基中的元素都映射到Y的开集，则f是开映射。

开映射和闭映射的定义，可用内部算子和闭包算子表达如下：设f: X → Y是映射。

• f是开映射，当且仅当对任何A ⊆ X，有f(A^°) ⊆ f(A)^°。
• f是闭映射，当且仅当对任何A ⊆ X，有f(A⁻) ⊆ f(A)⁻。

两个开映射的复合是开映射；两个闭映射的复合是闭映射，

两个开映射的积是开映射，但两个闭映射的积未必是闭映射。（例如取前述的投射p₁: R² → R，视之为两个映射f和g的积，其中f是x轴上的恒等函数，g是从y轴到只包含点0的集合{0}的函数。f和g为闭映射，但p₁不是。）

一个双射是开的当且仅当其为闭的。一个连续的双射，其逆映射是双射的既开且闭映射，反之亦然。

一个满射的开映射不一定是闭映射，同样一个满射的闭映射也不一定是开映射，

设f是连续映射，且是开的或闭的，那么

• 若f是满射，则f是商映射。
• 若f是单射，则f是拓扑嵌入。
• 若f是双射，则f是同胚。

f为开或闭映射的条件，对前两项只是充分条件，对第三项也是必要条件。

有些条件能协助辨别映射是否开或闭。以下列出一些这一类的定理。

闭映射引理指，从紧致集X到豪斯多夫空间Y的连续映射f: X → Y都是闭且逆紧（紧致集的原像都为紧致）。这结果的一个变化指，局部紧致豪斯多夫空间之间的一个连续映射若为逆紧，则这映射是闭映射。

泛函分析中的开映射定理指，巴拿赫空间之间的连续线性算子若是满射，则为开映射。

复分析中的开映射定理指，在复平面的连通开子集上定义的非常数全纯函数是开映射。

区域不变性定理指，两个n维拓扑流形间的局部单射且连续的映射都是开映射。

• Munkres, James R. Topology 2nd. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.