全集

这个一般概念有数个精确的版本。最简单的可能就是，任意集合都可以是全集。当研究一个特定集合的时候，这个集合就是全集。若研究实数，则所有实数的集合实数线${\displaystyle \mathbb {R} }$ 就是全集。在1870年代和1880年代，康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以应用于实分析，这时他默认地使用着的全集就是实数线${\displaystyle \mathbb {R} }$ 。康托尔一开始关心的也只是${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的子集。

这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中，所有的操作按例都是在一个表示全集${\displaystyle U}$ 的大长方形内进行。集合通常表示为圆形，但这些集合只能是${\displaystyle U}$ 的子集。集合${\displaystyle A}$ 的补集则为长方形中表示${\displaystyle A}$ 的圆形的外面的部分。严格地说，这是${\displaystyle A}$ 对${\displaystyle U}$ 的相对补集'${\displaystyle U\backslash A}$ ；但在${\displaystyle U}$ 是全集的场合下，这可以被当成是${\displaystyle A}$ 的绝对补集'${\displaystyle A^{C}}$ 。同样的，有一个称为空交集的概念，即零个集合的交集（指没有集合，而不是空集）。要是没有全集，空交集就会是所有东西组成的集合，这一般被认为是不可能的；但有了全集，空交集可以被当成是有条件（即${\displaystyle U}$ ）下的所有东西组成的集合。

在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时，这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此，例如新基础集合论，这里所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是相对有补格。相反，${\displaystyle U}$ 的幂集，即${\displaystyle U}$ 的所有子集组成的集合，是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算；而空交集${\displaystyle U}$ 则作为布尔格中的最大元（或空交）。这里，适用于补运算、交运算和并运算（集合论中的并集）的德·摩根律成立，而且对空交和空并（即空集）也成立。

然而，当考虑过给定集合${\displaystyle X}$ 的子集（在康托尔的例子中，${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ），可能就会进一步关心${\displaystyle X}$ 的子集组成的集合。 （例如：${\displaystyle X}$ 上的一个拓扑就是一个${\displaystyle X}$ 的子集组成的集合。） 这些不同的${\displaystyle X}$ 的子集组成的集合本身，一般而言并不是${\displaystyle X}$ 的子集，却是${\displaystyle X}$ 的幂集${\displaystyle \mathbf {P} X}$ 的子集。当然，这还没有完；可以进一步考虑${\displaystyle X}$ 的子集组成的集合所组成的集合，等等。另一个方向是：可以考虑笛卡尔积${\displaystyle X\times X}$ ，或从${\displaystyle X}$ 映射到其自身的函数。接着，还可以考虑笛卡尔积上的函数，或从${\displaystyle X}$ 映射到${\displaystyle X\times \mathrm {P} X}$ 的函数，等等。

这样，尽管主要关心的是${\displaystyle X}$ ，仍然需要一个比${\displaystyle X}$ 大很多的全集。顺着上面的思路，可能需要${\displaystyle X}$ 上的超结构。这可以通过结构递归来定义，如下：

• 设${\displaystyle \mathbf {S} _{0}X}$ 为${\displaystyle X}$ 自身。
• 设${\displaystyle \mathbf {S} _{1}X}$ 为${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle \mathbf {P} X}$ 的并集。
• 设${\displaystyle \mathbf {S} _{2}X}$ 为${\displaystyle \mathbf {S} _{1}X}$ 和${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {S} _{1}X)}$ 的并集。
• 一般的，设${\displaystyle \mathbf {S} _{n+1}X}$ 为${\displaystyle \mathbf {S} _{n}X}$ 和${\displaystyle \mathbf {P} (S_{n}X)}$ 的并集。则${\displaystyle X}$ 上的超结构，写作${\displaystyle \mathbf {S} X}$ ，为${\displaystyle \mathbf {S} _{0}X}$ ，${\displaystyle \mathbf {S} _{1}X}$ ，${\displaystyle \mathbf {S} _{2}X}$ ，等等，的并集；或

${\displaystyle \mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!}$ 

注意到，无论初始集合${\displaystyle X}$ 如何，空集总是属于${\displaystyle \mathbf {S} _{1}X}$ 。重定义空集为冯·诺伊曼序数${\displaystyle [0]}$ 。则${\displaystyle \{[0]\}}$ ，是仅含有空集为元素的集合，属于${\displaystyle \mathbf {S} _{2}X}$ ；定义为冯·诺伊曼序数${\displaystyle [1]}$ 。类似的，${\displaystyle \{[1]\}}$ 属于${\displaystyle \mathbf {S} _{3}X}$ ，则${\displaystyle \{[0]\}}$ 和${\displaystyle \{[1]\}}$ 的并集${\displaystyle \{[0],[1]\}}$ 也属于该集合；定义为冯·诺伊曼序数${\displaystyle [2]}$ 。重复这个过程，所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后，若${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 属于这个超结构，则${\displaystyle \{\{x\},\{x,y\}\}}$ （这个集合表示了有序对${\displaystyle (x,y)}$ ）也属于它。从而，这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且，这个超结构也包含各种函数和关系，因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及，还能够得到有序 n元组，表示定义域为冯·诺伊曼序数${\displaystyle [n]}$ 的函数。等等。

所以，就算仅从${\displaystyle X=\{\}}$ 出发，也可以构造大量的用于数学研究的集合，它们都是在{}上的超结构里的某个元素。但是，这样${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$ 的每个元素都会是有限集合。每个自然数都属于${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$ ，但“所有”自然数的集合${\displaystyle \mathbb {N} }$ 不属于${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$ （尽管它是${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$ 的“子集”）。实际上，${\displaystyle X}$ 上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样，它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下，假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克当时能使用到这个全集的话；他会相信每个自然数都存在，而集合${\displaystyle \mathbb {N} }$ （一个"完全的无穷大"）则不然。

然而，对一般的数学家（它们不是有限主义者）来说，${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$ 是不足够的，因为尽管${\displaystyle \mathbb {N} }$ 是${\displaystyle \mathbf {S} \{\}}$ 的子集，但${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的幂集仍然不是。特别的，任意的实数集合都不是。所以，需要重新开始这个过程，来构造${\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {S} \{\})}$ 。不过，为简单起见，就只用给出的自然数集合${\displaystyle \mathbb {N} }$ 来构造${\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} }$ ，即${\displaystyle \mathbb {N} }$ 上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指，一般研究的所有数学对象，都已作为这个全集的元素而包含其中。例如：任何通常的实数的构造方式（比如通过戴德金分割）都会属于${\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} }$ 。即使是非标准分析，也能够在自然数的一个非标准模型上的超结构中进行。

应当注意，这个部分在观念上有些改变，这里全集是任何被关心的集合${\displaystyle U}$ 。上个部分中，被研究的集合是全集的子集；而现在，它们是全集的元素。这样尽管${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {S} X)}$ 是一个布尔格，但相应的${\displaystyle \mathbf {S} X}$ 不是。因此，几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集；在上个部分中，它们被用来描述幂集式的全集。作为替代，可以采用独立的布尔格${\displaystyle \mathbf {P} A}$ ，这里${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle \mathbf {S} X}$ 中任意相应的集合；则${\displaystyle \mathbf {P} A}$ 是${\displaystyle \mathbf {S} X}$ 的子集（实际上它属于${\displaystyle \mathbf {S} X}$ ）。

正式来说，可以给出一个精确定义，来说明为何${\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} }$ 为一般数学的全集；这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学，完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作，特别是模型论，是不够的。举一个戏剧性的例子：上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成！ 最后一步，构造${\displaystyle \mathbf {S} }$ 成为一个无限并集，需要代换公理；这条公理在1922年被加入策梅洛集合论，成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。所以，尽管一般数学可以在${\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} }$ 中进行，对${\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} }$ 的讨论则不再"一般"，而是转向元数学的领域。

但是，若在超级的集合论中，可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。回到${\displaystyle X=\{\}}$ （空集），并用（标准的）符号${\displaystyle V_{i}}$ 表示${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\{\}}$ 。则有${\displaystyle V_{0}=\{\}}$ ，${\displaystyle V_{1}=\mathbf {P} \{\}}$ ，等等，和前面一样。但是，所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项：${\displaystyle V_{\omega }}$ ，这里${\displaystyle \omega }$ 为第一个无穷序数。按照序数知识，得到：

${\displaystyle V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!}$ 

可以对任意序数${\displaystyle i}$ 定义${\displaystyle V_{i}}$ 。所有${\displaystyle V_{i}}$ 的并集为冯·诺伊曼全集${\displaystyle V}$ ：

${\displaystyle V:=\bigcup _{i}V_{i}\!}$ 。注意，每个单独的${\displaystyle V_{i}}$ 都是集合，但他们的并集${\displaystyle V}$ 是一个真类。跟代换公理差不多时候加入ZF系统的正则公理断言，每个集合都属于${\displaystyle V}$ 。

• 自由对象

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag New York, Inc.

• Hazewinkel, Michiel (编), Universe, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃里克·韦斯坦因. Universal Set. MathWorld.