同调球面
数学的代数拓扑学中,同调球面是n维流形X,具有n-球面的同调群。在此n ≥ 1是整数。换言之,
- H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z)
- 对所有其他i,Hi(X,Z) = {0} .
因此X是一个连通空间,仅有一个非零的高阶贝蒂数bn(除了 b0=1 外)。
由于Hn(X,Z)非零,故X是紧致及可定向的。
当n > 1时,虽然H1(X,Z) = {0},不过并不表示X是单连通的,即X的基本群未必是平凡的,只表示其基本群是完满群。(参看Hurewicz定理)
有理同调球面的定义与上述类似,不过用有理系数的同调群代替。
庞加莱同调球面
庞加莱同调球面(又称为庞加莱十二面体空间)是同调球面的一个例子。庞加莱同调球面是球面3-流形,因此基本群是有限的。同调3-球面中,除了3-球面之外,就只有庞加莱同调球面有有限基本群。它的基本群称为binary icosahedral group,这个群的目是120。
庞加莱在1900年猜想使用同调群就可以分辨3-流形是否3-球面,1904年他提出了这个反例,并引入了基本群概念证明他的反例不是球面,又将原来的猜想修改为庞加莱猜想。
构造法
庞加莱同调球面的一个简单构造法是使用正十二面体。将正十二面体的每个面与相对的另一面等同,将两个面用顺时针方向的最小“扭转”重合。这样黏合后得出的是闭3-流形。(参看用相似构造法及较大的“扭转”而成的Seifert–Weber space,得出的是一个双曲3-流形。)
另一个得出庞加莱同调球面的方法,是用商空间SO(3)/I,此处 I 是二十面体群,就是正二十面体和正十二面体的旋转对称群,同构于交错群A5。更直观地说,庞加莱同调球面就是正二十面体在三维欧几里得空间中,所有可从几何区别的位置所组成的空间。
性质
二重悬垂定理指一个同调球面的二重悬垂是一个拓扑球面。
应用
若A是一个不同胚于3-球面的同调3-球面,则A的悬垂是一个4维同调流形,却不是拓扑流形。A的二重悬垂同胚于5-球面,但是从A的三角剖分诱导出来的三角剖分不是分片线性流形。换言之,这给出了一个有限单纯复形例子,是拓扑流形,但不是分片线性流形,
Galewski-Stern证明了任何至少5维的(无边)紧流形都同胚于某单纯复形,当且仅当存在一个同调3-流形Σ,其Rokhlin不变量是1,使得它与自身的连通和Σ#Σ包围了一个光滑零调(acyclic)4-流形。2013年,Ciprian Manolescu证明了不存在这样的同调3-流形Σ。[1]因此存在5-流形不同胚于单纯复形。特别地,Galewski-Stern原来给出的例子是不可三角剖分的。[2]
参考
- ^ Manolescu, Ciprian. Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture. arXiv:1303.2354 . To appear in Journal of the AMS.
- ^ D. Galewski and R. Stern. A universal 5-manifold with respect to simplicial triangulations, in Geometric topology. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977) (New York: Academic Press). 1979: pp.345–350.
参看
- Emmanuel Dror, Homology spheres, Israel Journal of Mathematics 15 (1973), 115–129. MR0328926
- David Galewski, Ronald Stern Classification of simplicial triangulations of topological manifolds, Annals of Mathematics 111 (1980), no. 1, pp. 1–34.
- Robion Kirby, Martin Scharlemann, Eight faces of the Poincaré homology 3-sphere. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 113–146, Academic Press, New York-London, 1979.
- Michel Kervaire, Smooth homology spheres and their fundamental groups, Transactions of the American Mathematical Society 144 (1969) 67–72. MR0253347
- Nikolai Saveliev, Invariants of Homology 3-Spheres, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 140. Low-Dimensional Topology, I. Springer-Verlag, Berlin, 2002. MR1941324 编辑
- A 16-Vertex Triangulation of the Poincaré Homology 3-Sphere and Non-PL Spheres with Few Vertices (页面存档备份,存于互联网档案馆) by Anders Björner and Frank H. Lutz
- Lecture by David Gillman on The best picture of Poincare's homology sphere (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- A cosmic hall of mirrors (页面存档备份,存于互联网档案馆) - physicsworld (26 Sep 2005)