谱图论
数学上,谱图论(英语:spectral graph theory)是图论的分支,研究图的性质与其邻接矩阵、调和矩阵等的特征多项式、特征值和特征向量有何关联。个顶点的图,其邻接矩阵是矩阵,各分量分别以或表示对应的两顶点之间是否有连边。简单无向图的邻接矩阵是实对称矩阵,从而可正交对角化,其特征值皆是实代数整数。
虽然邻接矩阵取决于如何标记顶点以作排序,但是矩阵的谱是图不变量,不取决于标记方式。(不过也不是完备不变量,不足以完全刻画图的全部性质。)
谱图论亦关注藉图的矩阵特征值重数定义的参数,如科兰·德韦迪耶尔数。
共谱图
两幅图称为“共谱”(cospectral)或“等谱”(isospectral),意思是两者的邻接矩阵等谱,特征值不仅数值相等,连重数也一样,即组成的多重集相等。
共谱图不必同构,但同构图必然共谱。
独有的谱
图 由谱决定(determined by its spectrum),意思是具有该谱的图必与 同构。简单例子包括:
- 完全图
- 有限星状树,即恰有一个顶点度数大于 的树。
共谱配偶
若一对图具有相同的谱,但是不同构,则称为“共谱配偶”(cospectral mates)。最小一对共谱配偶是 ,前者是五个顶点的星,而后者是四个顶点的环,与独一个顶点的不交并,如科拉茨和西诺戈维茨于1957年所述。[1][2]最小一对多面体共谱配偶是两个八顶点的九面体。[3]
寻找共谱图
几乎所有树皆会与另一树共谱。换言之,随顶点数增加,有共谱树的树所占比率趋于 。[4]一对正则图共谱当且仅当其补图亦共谱。[5]一对距离正则图共谱,当且仅当其相交阵列相等。
共谱图亦可藉砂田方法构造。[6]尚有另一类共谱图,来自各种点线几何。此种几何中,以各点为顶点,有直线过两点则连边,可得“点共线图”(point-collinearity graph)。反之,以直线为顶点,两直线相交则连边,可得“线相交图”(line-intersection graph)。两幅图必共谱,但经常不同构。[7]
奇格不等式
黎曼几何中,对于紧黎曼流形 ,有等周定理的推广,称为奇格不等式。其断言, 维区域 的体积一定时,边界 的面积不能太小,相比 的体积,比例常数有某个下界,与拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征值有关。此不等式在图论的离散情况下有类比,拉-贝二氏算子对应的概念是拉氏矩阵。谱图论的奇格不等式在算法方面有应用,因为借由拉氏算子的第二特征值,可以估算图的最小割之值。
奇格常数
图的奇格常数(Cheeger constant),或作奇格数(Cheeger number)、等周数(isoperimetric number),直观理解是用作衡量该图是否有“瓶颈”。多个学科需要衡量瓶颈程度,所以其用途包括:建造非常连通的计算机网络、洗牌、低维拓扑(尤其研究双曲3流形时)。
对于一幅 个顶点的图 ,奇格常数 的定义,可用符号写成:
式中的最小值取遍一切大小不过半的非空顶点集合 ,而 表示 的边边界(edge boundary),即恰有一端属 的边所组成的集。[8]
不等式叙述
当 为 正则时, 与度数及第二特征值之差 (又称“谱隙”)有关。多久克[9]及阿隆、米尔曼二人[10]分别独立证出以下不等式:[11]
此不等式与马尔可夫链的奇格界密切相关,亦是黎曼几何中,奇格不等式的离散变式。
更一般情况,可考虑连通图 ,不必正则,此时金芳蓉的书[12]:35中有另一条不等式:
式中 是(未归一的)拉氏算子最小非平凡特征值, 是最大度,而 是经归一化的奇格常数:
其中 表示 中各顶点的度数和。
霍夫曼-德尔萨特不等式
对正则图的独立集大小,可用特征值计算出一个上界,最先由艾伦·霍夫曼和菲利浦·德尔萨特(Philippe Delsarte)证明。[13]不等式的叙述如下:
设 是 个顶点的 正则图,且最小一个特征值为 ,则 的独立数
此上界应用在合适的图上,就能以代数方式证明艾狄胥-柯-雷多定理,以及有关有限域上子空间相交族的类似定理。[14]
对于一般不必正则的图,考虑归一化拉氏矩阵的最大特征值 ,也能推导出类似的结论:[12]
式中 和 分别表示 的最大度和最小度。此为另一不等式[12]:109的特例:对于任意独立集 ,有
其中 代表集合 中所有顶点的度数之和。
沿革
谱图论在1950年代至1960年代逐渐出现。图论有研究图的结构与谱性质之间有何联系,除此之外,量子化学研究亦是另一源头,但两个方向的研究互不流通,要到很后期才合而为一。[15]1980年茨维特科维奇、杜布、萨克斯的专著《图之谱》[16]概括了当时本领域的多数研究,其后由1988年《图谱论之近期成果》[17]和《图之谱》1995年第三版再次更新。[15]2000年代,砂田利一开创离散几何分析,并加以发展。此领域处理谱图论的方式,是利用加权图的离散拉氏算子,[18]在形状分析等领域有应用。近来,谱图论应用广泛,用于分析一些现实(如信号处理时)可能会遇到的图。[19][20][21][22]
参见
参考文献
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