极大与极小元

设${\displaystyle (P,\leq )}$ 为预序集，又设${\displaystyle S\subseteq P}$ ，则${\displaystyle S}$ 中关于${\displaystyle \,\leq \,}$ 的极大元定义为满足以下性质的元素${\displaystyle m\in S}$ ：

若有${\displaystyle s\in S}$ 使${\displaystyle m\leq s,}$  则必有${\displaystyle s\leq m.}$ 

与之类似，${\displaystyle S}$ 中关于${\displaystyle \,\leq \,}$ 的极小元是满足以下性质的元素${\displaystyle m\in S}$ ：

若有${\displaystyle s\in S}$ 使${\displaystyle s\leq m,}$  则必有${\displaystyle m\leq s.}$ 

等价地，亦可将${\displaystyle S}$ 关于${\displaystyle \,\leq \,}$ 的极小元定义为${\displaystyle S}$ 关于${\displaystyle \,\geq \,}$ 的极大元，其中对任意${\displaystyle p,q\in P}$ ，${\displaystyle q\geq p}$ 当且仅当${\displaystyle p\leq q}$ 。

若无明示子集${\displaystyle S}$ ，则所谓极大元预设是${\displaystyle P}$ 的极大元。

若预序集${\displaystyle (P,\leq )}$ 实为偏序集^{[注 1]}，或者限缩到${\displaystyle (S,\leq )}$ 是偏序集，则${\displaystyle m\in S}$ 为极大当且仅当${\displaystyle S}$ 无严格较${\displaystyle m}$ 大的元素。换言之，不存在${\displaystyle s\in S}$ 使${\displaystyle m\leq s}$ 及${\displaystyle m\neq s.}$  将本段的${\displaystyle \,\leq \,}$ 号一律换成${\displaystyle \,\geq \,}$ 就得到极小元的描述。

极大/极小元不必存在。

• 例一：考虑实数系${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的区间${\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$ 。对任意元素${\displaystyle m\in S}$ ，${\displaystyle s=m+1}$ 仍在${\displaystyle S}$ 中，但${\displaystyle m<s}$ ，因此没有元素${\displaystyle m}$ 为极大。
• 例二：考虑有理数系${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的子集${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\}}$ ，因为根号2是无理数，对任何有理数${\displaystyle m\leq {\sqrt {2}}}$ 皆可找到另一有理数${\displaystyle s}$ 使${\displaystyle m<s<{\sqrt {2}}}$ 。

但在某些情况下，极大/极小元保证存在。

• 若${\displaystyle S}$ 为有限非空子集，则必有极大元和极小元。（对无穷子集无此结论，如整数系${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$ 就没有极大元。）
• 佐恩引理断言：“若偏序集${\displaystyle P}$ 中，每个全序子集${\displaystyle S}$ 皆有上界，则${\displaystyle P}$ 至少有一个极大元。”此引理等价于良序定理和选择公理，^[3]在数学的多个分支有重要推论，例如可证任何向量空间皆有基（极大的代数无关子集），或是任何域皆有代数闭包（代数扩张偏序下的极大元）。

极大/极小元不必唯一。

• 帕累托效率中，“帕累托最优”的状态即是帕累托改善偏序下的极大元，此类极大元的集合又称为“帕累托前缘”（Pareto frontier）。
• 决策论中，可容决策规则（英语：admissible decision rule）是优势（英语：dominating decision rule）偏序下的极大元。
• 现代投资组合理论中，风险（以低为优）与回报（以高为优）的积序（英语：product order）^{[注 2]}下，极大元称为效率投资组合（efficient portfolio），组成的集合则为效率前缘（英语：efficient frontier）。
• 集合论中，某集合为有限当且仅当其任意非空子集族（以包含关系为偏序）皆有极小元。^{[注 3]}
• 抽象代数中，需要将最大公因数的概念推广为极大公因子（英语：maximal common divisor），因为某些数系中，若干个元素的公因子集合可能有多于一个极大元（整除意义下）。
• 计算几何中，点集的极大元（英语：maxima of a point set）是逐分量比较^{[注 2]}下的极大元。