最大与最小元

数学分支序理论中,最大元是某集合中,大于或等于其全体元素的特殊元素。最小元与之对偶英语duality (order theory),小于等于该集合的任何元素。例如,实数集中,最大元是,而最小元是,但是区间并无最大元或最小元。

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因数,按整除偏序画成哈斯图。红色子集有两个极大元3、4,和一个极小元1,同时也是最小元。但是,没有最大元。

此处“大小”关系除一般实数的大小关系外,也可以是定义在任意集合上的偏序预序

严格定义

 偏序集(或预序集亦可), 为其子集。若 的元素 满足:

 的任意元素 ,皆有 

 称为 最大元(英语:greatest element)。对偶地,若 的元素 满足:

 的任意元素 ,皆有 

 称为 最小元least element)。

由定义, 的最大(小)元必定是 上(下)界。且若 为偏序集,则集合 至多得一个最大元:若  皆为最大,则由定义有 ,又有 ,由反对称性 。所以若有最大元,则必定唯一。[1]若改为预序集则不一定。

整个偏序集 的最大最小元又称为top)和bottom)。顶常以符号记作  ,底则是  ,在有补格布尔代数等结构中尤为常见。有顶和底的偏序集称为有界偏序集合

与极大极小元、上下界之别

集合不一定有最大元,也不一定有上界。即使集合有上界和上确界,也不一定有最大元。举例,实数系 中,任何正数皆是负数子集 的上界,且 为其上确界,但是没有最大元:不存在“最大的负数”。最小元与下界、下确界的关系也类似。最大元又与极大元maximal element)不同:有极大元的集合不一定有最大元,但偏序集若有最大元,则同时亦是唯一的极大元。最小元与极小元minimal element)亦不同。[1]

性质

 偏序集 为其子集。

  • 有限全序集非空子集必有最大最小元。
  •  若有最大元 ,则 必定是极大元。此时, 衹有这一个极大元:对任意极大元 ,由于 是最大元,必有 ,从而由 极大知 。所以若 有多于一个极大元,则不能有最大元。
  •  满足升链条件,则其子集 有最大元当且仅当其恰有一个极大元。
    • “仅当”:最大元必然是极大元。
    • “当”:假设 有唯一极大元 但没有最大元。因为 不是最大,有  不可比,又 不是极大,所以有某个 满足   也不可比:若 ,则与 极大矛盾;反之 又推出 ,与  不可比又矛盾。重复以上步骤,可得无穷递升链 (其中每个 皆与 不可比,又非极大),与升链条件矛盾。

全序集的最大最小元

假如 限制到子集 上为全序(如首段附图的 ),则在 中,最大元与极大元等价:若 为极大,则对任意其他 ,必有  将与 极大矛盾),故 是最大元。

所以,全序集中,最大元与极大元两个概念重合,有时也称为最大值maximum),同理最小元与极小元也称为最小值minimum)。但上述用法与实值函数日语実数値関数论的用法略有出入。[2]研究实值函数时,所谓最大值是函数的值域的最大元,又称全域最大值、绝对最大值、最大值。[3]而限制到某点邻域时,对应值域的最大元(等同于极大元)则称为局域最大值、相对最大值、极大值。[4]最大最小值又合称最值极值亦同。

集合 的最大最小值分别记作 。在格理论概率论中,为方便运算,会将两数 之最大最小值(即其组成二元集的最大最小元)简记作  。换言之:

 [5]

 
例2之哈斯图
  • 实数集 中,全体整数组成的子集 没有上界,从而没有最大元。
  • 如图所示,在集合 上,定义自反关系 使       。则 皆是集合 的上界,但因为不可比较,没有最小上界。又 不可比, 没有最大元。
  • 有理数集 中,平方小于2的数所组成的子集 有上界(如 ),但没有最大元,也没有上确界。
  •  中,区间 有上确界 而没有最大元。但区间 有最大元 ,同时也是上确界。
  •  配备积偏序英语product order[注 1],满足 (而 任意)的二元组 的集合 没有上界,也没有最大元。
  • 但当 配备字典序[注 2] 有上界 ,但仍没有上确界和最大元。

参见

  1. ^  定义成  
  2. ^  定义成 或(  )。

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 松坂 1968,第90-97页.
  2. ^ nLabextremum: 1. Idea.条目
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Global Maximum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Local Maximum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  5. ^ Billingsley, P. Probability and Measure [概率与测度] Anniversary. Wiley. 2012: 572. ISBN 978-1-118-12237-2 (英语). 
  • 西冈, 康夫. 数学チュートリアル やさしく語る 確率統計. オーム社. 2013. ISBN 9784274214073 (日语). 
  • 松坂, 和夫. 集合・位相入門. 岩波书店. 1968. ISBN 4-00-005424-4 (日语). 
  • Davey, B. A.; Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order 2nd. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1 (英语).