立方体堆砌
提示：此条目的主题不是立方体堆叠。立方体堆砌（Cubic Honeycomb）[2]是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其缩写为chon[3]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。
| 立方体堆砌 立方蜂巢体 | |
|---|---|
 | |
 线架图 | |
| 类型 | 正堆砌 |
| 家族 | 立方形堆砌 |
| 维度 | 3 |
| 对偶多胞形 | 立方体堆砌（自身对偶） |
| 类比 | 正方形镶嵌 |
| 识别 | |
| 名称 | 立方体堆砌 |
| 参考索引[1] | J11,15, A1 W1, G22 |
| 鲍尔斯缩写 | chon |
| 数学表示法 | |
| 考克斯特符号 |     |
| 考克斯特记号 | [4,3,4] |
| 纤维流形记号 | 4−:2 |
| 施莱夫利符号 | {4,3,4} |
| 性质 | |
| 胞 | {4,3}  棱处相交胞：4×{4,3} 顶点处相交胞：8×{4,3} |
| 面 | {4}  棱处相交面：4×{4} 顶点处相交面：12×{4} |
| 边 | ∞ 顶点处相交棱：6 |
| 欧拉示性数 | 0 |
| 组成与布局 | |
| 顶点图 |  （正八面体） |
| 对称性 | |
| 对称群 | |
| 空间群 | Pm3m |
| 考克斯特群 | , [4,3,4] |
| 特性 | |
| 顶点正 | |
立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有对称性，有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。
性质
立方体堆砌由立方体填满空间组成，每个顶点都是8个立方体的公共顶点、每条棱都是4个立方体的公共棱。
顶点坐标
立方体堆砌顶点的笛卡尔坐标为：
- (i, j, k)
- 对所有的i,j,k皆为立方体边长的整数倍
因此边长为1立方体堆砌也可以视为空间中的坐标网格。
由于立方体堆砌是一个自身对偶多胞形，因此其几何中心位置同样可以构成另一个立方体堆砌，因此其几何中心坐标也同样满足上述式子，而i,j,k值则为相邻立方体几何中心距离的整数倍。
正交投影
| 对称性 | p6m (*632) | p4m (*442) | pmm (*2222) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 实体图 | |||||
| 框线图 | |||||
相关堆砌
立方体堆砌是平面正方形镶嵌{4,4}在三维空间的类比，他们的形式皆为{4,3,...,3,4}，为立方形堆砌家族的一部分，在这个系列的镶嵌都是自身对偶。他也是28种由凸均匀多面体组成的均匀镶嵌之一。
自然界中的立方体堆砌
作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。
简单立方晶格
简单立方晶格可以被扭曲成较低的对称性，通过较低的晶系代表：
| 晶系 | 单斜 三斜 |
正交 | 四方 | 三方 | 立方 |
|---|---|---|---|---|---|
| 胞 单位晶格 |
平行六面体 | 长方体 | 三方 偏方面体 |
正方体 | |
| 点群 阶 旋转对称群 |
[ ], (*) Order 2 [ ]+, (1) |
[2,2], (*222) Order 8 [2,2]+, (222) |
[4,2], (*422) Order 16 [4,2]+, (422) |
[3], (*33) Order 6 [3]+, (33) |
[4,3], (*432) Order 48 [4,3]+, (432) |
| 图示 | |||||
| 空间群 旋转对称群 |
Pm (6) P1 (1) |
Pmmm (47) P222 (16) |
P4/mmm (123) P422 (89) |
R3m (160) R3 (146) |
Pm3m (221) P432 (207) |
| 考克斯特式 | - | [∞]a×[∞]b×[∞]c | [4,4]a×[∞]c | - | [4,3,4]a |
| 考克斯特符号 | - | - | |||
表面着色
作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有 对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号 ，除此之外，作为一个空间堆砌，它有Pm3m空间平移对称性。
而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：
| 名称 | 考克斯特标记 空间群 |
考克斯特—迪肯符号 | 施莱夫利符号 | 有限部 分图像 |
颜色组合 （字母表示） |
|---|---|---|---|---|---|
| 立方体堆砌 | [4,3,4] Pm3m |
{4,3,4} | 1: aaaa/aaaa | ||
| 三次截半半 立方体堆砌 |
[4,31,1] Fm3m |
{4,31,1} | 2: abba/baab | ||
| 截面立方体 堆砌 |
[4,3,4] Pm3m |
t0,3{4,3,4} | 4: abbc/bccd | ||
| [[4,3,4]] Pm3m (229) |
t0,3{4,3,4} | 4: abbb/bbba | |||
| 正四棱柱 堆砌 |
[4,3,4,2,∞] | {4,4}×t{∞} | 2: aaaa/bbbb | ||
| 截棱正四棱柱 堆砌 |
[4,3,4,2,∞] | t1{4,4}×{∞} | 2: abba/abba | ||
| 无穷次无穷次 无穷边形 |
[∞,2,∞,2,∞] | t{∞}×t{∞}×{∞} | 4: abcd/abcd | ||
| 无穷次无穷次 无穷边形 |
[∞,2,∞,2,∞] | t{∞}×t{∞}×t{∞} | 8: abcd/efgh |
相关多面体和镶嵌
立方体堆砌与四维超正方体施莱夫利符号{4,3,3}相似，但超正方体只存在四维空间，且每个边的周为只有三个正方体而立方体堆砌有四个。此外，也可以有每个边的周为有五个正方体，他称为五阶立方体堆砌，存在于双曲空间，施莱夫利符号为{4,3,5}。
| 空间 | S3 | E3 | H3 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 来源 | 有限 | 仿射 | 紧凑 | 仿紧 | 非紧 | ||
| 施式 | {3,3,4} |
{4,3,4} |
{5,3,4} |
{6,3,4} |
{7,3,4} |
{8,3,4} |
... {∞,3,4} |
| 图像 | |||||||
| 胞 | {3,3} |
{4,3} |
{5,3} |
{6,3} |
{7,3} |
{8,3} |
{∞,3} |
考克斯特群[4,3,4]、 产生15个排列均匀的镶嵌中，9个具有独特的的几何形状，包括交替立方体堆砌、扩展立方堆砌是几何上相同的立方体堆砌。
| 空间群 | 纤维流形 | 扩展 对称群 |
扩展 标记 |
阶 | 蜂巢体 （堆砌） |
|---|---|---|---|---|---|
| Pm3m (221) |
4−:2 | [4,3,4] | ×1 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | |
| Fm3m (225) |
2−:2 | [1+,4,3,4] ↔ [4,31,1] |
↔ |
Half | 7, 11, 12, 13 |
| I43m (217) |
4o:2 | [[(4,3,4,2+)]] | Half × 2 | (7), | |
| Fd3m (227) |
2+:2 | [[1+,4,3,4,1+]] ↔ [[3[4]]] |
↔ |
Quarter × 2 | 10, |
| Im3m (229) |
8o:2 | [[4,3,4]] | ×2 |
考克斯特群[4,31,1], , 考克斯特群产生 9个排列均匀的镶嵌中，其中4个具有独特的的几何形状，包括交替立方体堆砌。
| 空间群 | 纤维流形 | 扩展 对称群 |
扩展 标记 |
阶 | 蜂巢体 （堆砌） |
|---|---|---|---|---|---|
| Fm3m (225) |
2−:2 | [4,31,1] ↔ [4,3,4,1+] |
↔ |
×1 | 1, 2, 3, 4 |
| Fm3m (225) |
2−:2 | <[1+,4,31,1]> ↔ <[3[4]]> |
↔ |
×2 | (1), (3) |
| Pm3m (221) |
4−:2 | <[4,31,1]> | ×2 |
5, 6, 7, (6), 9, 10, 11 |
立方体堆砌是 考克斯特群中的五个结构特别的均匀堆砌[4]之一，其对称性可以乘以环在考克斯特-迪肯符号的对称性：
| 空间群 | 纤维流形 | 方形 对称群 |
扩展 对称群 |
扩展 标记 |
扩展 阶 |
蜂巢体 （堆砌） |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F43m (216) |
1o:2 | a1 | [3[4]] | ×1 | (None) | |
| Fd3m (227) |
2+:2 | p2 | [[3[4]]] | ↔ |
×2 | 3 |
| Fm3m (225) |
2−:2 | d2 | <[3[4]]> ↔ [4,3,31,1] |
↔ |
×2 | 1, 2 |
| Pm3m (221) |
4−:2 | d4 | [2[3[4]]] ↔ [4,3,4] |
↔ |
×4 | 4 |
| Im3m (229) |
8o:2 | r8 | [4[3[4]]] ↔ [[4,3,4]] |
↔ |
×8 | 5, (*) |
参考
- ^ For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things,
- ^ [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, A000029 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 6-1 cases, skipping one with zero marks
- H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
- A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1. bendwavy.org.
- Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon （页面存档备份，存于互联网档案馆）