环的局部化

“局部化”一词源出代数几何。设 ${\displaystyle R}$  是一个仿射代数簇 ${\displaystyle X}$  的坐标环（也就是 ${\displaystyle X}$  上的多项式函数），则 ${\displaystyle R}$  对其元素 ${\displaystyle f}$  的局部化的意义是将 ${\displaystyle V(f):=\{x\in X:f(x)=0\}}$  从 ${\displaystyle X}$  中挖掉，得到的环 ${\displaystyle R_{f}}$  正是 ${\displaystyle X-V(f)}$  的坐标环；若对极大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}:=\{f\in R:f(x)=0\}}$  作局部化，则可以设想为挖去所有的 ${\displaystyle V(f)\quad (f(x)\neq 0)}$ ；得到的环 ${\displaystyle R_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$  体现 ${\displaystyle X}$  上的多项式函数在 ${\displaystyle x}$  点的局部性质。

借着将模理解为仿射代数簇上的拟凝聚层，可以类似地诠释模的局部化；它无非是拟凝聚层在一个点的茎。

在此仅考虑含单位元的环。设 ${\displaystyle R}$  为环，${\displaystyle S}$  为 ${\displaystyle R}$ 的积性子集（定义：对乘法封闭，并包含单位元的集合）。以下将探讨 ${\displaystyle R}$  对 ${\displaystyle S}$  之局部化。

泛性质

${\displaystyle R}$  对 ${\displaystyle S}$  的局部化如果存在，是一个环 ${\displaystyle S^{-1}R}$ （或记作 ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ）配上环同态 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$ ，使之满足以下的泛性质：

对任何环 ${\displaystyle T}$  及环同态 ${\displaystyle \phi :R\rightarrow T}$ ，若 ${\displaystyle S}$  的元素在 ${\displaystyle \phi }$  下的像皆可逆，则存在唯一的环同态 ${\displaystyle \psi :S^{-1}R\rightarrow T}$ ，使得 ${\displaystyle \phi }$  是 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$  与 ${\displaystyle \psi }$  的合成。

此性质可保证局部化 ${\displaystyle (S^{-1}R,R\rightarrow S^{-1}R)}$  的唯一性。

交换环的情形

当交换环 ${\displaystyle R}$  为整环时，局部化的构造相当容易。若 ${\displaystyle 0\in S}$ ，则 ${\displaystyle S^{-1}R}$  必然是零环；若不然，我们可以在 ${\displaystyle R}$  的分式环 ${\displaystyle K}$  中构造局部化：取 ${\displaystyle S^{-1}R\subset K}$  为形如 ${\displaystyle {\frac {r}{s}}\quad (r\in R,s\in S)}$  的元素即可。

对于一般的交换环，我们必须推广分式环的构造；在此须注意到：由于 ${\displaystyle S}$  中可能有零因子，我们不能鲁莽地通分一个分式。构造方式如下：

在集合 ${\displaystyle R\times S}$  上定义下述等价关系 ${\displaystyle \sim }$ ：

${\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff }$  存在 ${\displaystyle t\in S}$  使得 ${\displaystyle t(rs'-r's)=0}$ 

等价类 ${\displaystyle [r,s]}$  可以想成“分式” ${\displaystyle r/s}$ ，借此类比，在商集 ${\displaystyle (R\times S)/\sim }$  上定义加法与乘法为：

${\displaystyle [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']}$ 

${\displaystyle [r,s][r',s']=[rr',ss']}$ 

可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态 ${\displaystyle R\rightarrow (R\times S)/\sim }$ ，定义为 ${\displaystyle r\mapsto [r,1]}$ 。于是可定义 ${\displaystyle S^{-1}R:=(R\times S)/\sim }$ ，再 配上上述环运算与同态。在实践上，我们常迳将 ${\displaystyle S^{-1}R}$  里的元素写作分式 ${\displaystyle r/s}$ 。

交换代数与代数几何中经常考虑两种局部化：

• 固定 ${\displaystyle f\in R}$ ，取 ${\displaystyle S:=\{f^{n}:n\geq 0\}}$ 。在交换环谱中，对这类 ${\displaystyle S}$  的局部化构成 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$  的基本开集（${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$  表 ${\displaystyle R}$  的所有素理想构成的集合）。这种局部化常记作 ${\displaystyle R_{f}}$ 。
• 固定素理想 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ ，取 ${\displaystyle S:=R-{\mathfrak {p}}}$ ，此时也称作对素理想 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  的局部化。这种局部化常记作 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ 。

以下是 ${\displaystyle S^{-1}R}$  的一些环论性质。

• ${\displaystyle S^{-1}R=(0)}$  当且仅当 ${\displaystyle 0\in S}$ 。
• 环同态 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$  是单射，当且仅当 ${\displaystyle S}$  中不含零因子。
• 同态 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$  下的逆像给出下列一一对应：

${\displaystyle \mathrm {Spec} (S^{-1}R)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R):{\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset \}}$ 

一个重要的特例是取 ${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}}}$ ，可知 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$  中的素理想一一对应至 ${\displaystyle R}$  中包含于 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  的素理想，因此 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$  是局部环。

非交换环的情形

非交换环的局部化较困难，并非对所有积性子集 ${\displaystyle S}$  都有局部化。充分条件之一是欧尔条件，请参阅条目欧尔定理。

其应用之一是用于微分算子环。例如它可以解释作为一个微分算子 ${\displaystyle D}$  抽象地添加逆算子 ${\displaystyle D^{-1}}$ ；微局部分析中运用了这类构造。

设 ${\displaystyle R}$  为含单位元的交换环，${\displaystyle S}$  是积性子集，而 ${\displaystyle M}$  是个 ${\displaystyle R}$ -模。模的局部化与交换环类似，写作 ${\displaystyle S^{-1}M}$  或 ${\displaystyle M[S^{-1}]}$ 。我们依然要求存在模同态 ${\displaystyle M\rightarrow S^{-1}M}$  及以下的泛性质（此泛性质蕴含唯一性）：

对任何 ${\displaystyle S^{-1}R}$ -模 ${\displaystyle N}$  及 ${\displaystyle R}$ -模同态 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ ，存在唯一的 ${\displaystyle S^{-1}R}$ -模同态 ${\displaystyle \psi :S^{-1}M\rightarrow N}$ ，使得 ${\displaystyle \phi }$  是 ${\displaystyle M\rightarrow S^{-1}M}$  与 ${\displaystyle \psi }$  的合成。

事实上，可以用张量积构造模的局部化：

${\displaystyle S^{-1}M:=M\otimes _{R}S^{-1}R}$ 

这是一个正合函子，它将单射映为单射。亦即：${\displaystyle S^{-1}R}$  是平坦的 ${\displaystyle R}$ -模。利用张量积与环的局部化的泛性质，可以形式地导出上述构造确实满足局部化的要求。

此外，也可以仿造交换环的局部化，用分式 ${\displaystyle \{m/s:m\in M,s\in S\}}$  直接构造 ${\displaystyle S^{-1}M}$ ，分式间的等价与代数运算类似交换环的情形。

范畴的局部化的意义在将一族态射之逆态射加入范畴中，使得这些态射成为同构。这在形式上近于环的局部化，也能使先前不同构的对象在局部化后变为同构。例如，在同伦理论中有许多连续映射在同伦的意义下可逆，借着将这些映射局部化，同伦等价的空间可被视为彼此同构。局部化范畴里的操作也称作分式运算，相关技术细节请见文献中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

一些例子

1. 塞尔提议在模掉某类阿贝尔群 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  的同伦范畴里操作，这意谓若群 ${\displaystyle A,B}$  满足 ${\displaystyle A/B\in {\mathcal {C}}}$ ，则视之为同构的。稍后 Dennis Sullivan 引进一个大胆的想法：改在空间的局部化里操作。如此将影响底层的拓扑空间。
2. 设 ${\displaystyle R}$  的克鲁尔维数至少是 2，此时若两个 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M\supset N}$  满足 ${\displaystyle M/N}$  的支撑集的余维至少是 2，则可视之为伪同构的。岩泽理论大大利用了这个想法。
3. 在同调代数中，我们借着加入拟同构之逆而得到导范畴。
4. 在阿贝尔簇的理论中，我们常等同两个同源的阿贝尔簇，并将同源映射视为同构。此“至多差一个同源”的范畴是局部化较简单的例子，实质上不外是将 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$  代以 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ 。

集合论的问题

一般而言，给定一个范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  及一族态射 ${\displaystyle w}$ ，在探讨是否能构造局部化 ${\displaystyle w^{-1}{\mathcal {C}}}$  时会遇到以下问题：当 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  是小范畴或 ${\displaystyle w}$  是集合时已知可构造局部化，但一般来说则是个棘手的集合论问题；局部化的典型构造可能会造成两对象间的态射“太多”，换言之可能是个真类。发展模型范畴的动机之一正是要避免这类问题。

• P. Gabriel and M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
• Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra (1994), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1