基 (线性代数)

为了记号表示方便，这里仿造数列级数定义一个"向量序列的级数"：

对于向量序列 ${\displaystyle {\{v_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  ，根据集合论和数学归纳法，存在一个向量序列 ${\displaystyle {\{s_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  满足

• ${\displaystyle s_{0}=v_{0}}$ 
• 对所有的 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$  有 ${\displaystyle s_{i+1}=s_{i}+v_{i}}$ 

${\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  称为 ${\displaystyle {\left\{v_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  的级数，通常会仿造数列级数而把 ${\displaystyle s_{i}}$  写为

${\displaystyle \sum _{k=0}^{i}v_{k}}$ 

或更直观的

${\displaystyle v_{0}+v_{1}+\cdots +v_{i}}$ 

Hamel基

${\displaystyle \mathrm {V} }$  是定义在域 ${\displaystyle K}$ （也就是标量的母空间，如实数系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  或复数系 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ）上的向量空间，如果 ${\displaystyle \mathrm {V} }$  的子集 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$  满足：

1. ${\displaystyle 0_{V}\notin {\mathfrak {B}}}$  （也就是零向量不会在 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$  里）
2. 若 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$  且 ${\displaystyle v\neq 0_{V}}$ ，则存在唯一的一组相异向量 ${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}$  和唯一的一组非零标量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}$  使得 ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=v}$  。

则称 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$  是向量空间 ${\displaystyle \mathrm {V} }$  的一组Hamel基。${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$  里的元素被称为基向量 ，若基向量的总数是有限个，${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$  则会被称为有限基或直接简称为基。

上面的第二个条件，也可以等价地改写为以下两条^[1]：

等价性来自于线性无关：

若有第二组相异 ${\displaystyle E_{1},\,E_{2},\,\ldots ,\,E_{m}\in {\mathfrak {B}}}$  基向量和第二组标量 ${\displaystyle c_{1},\,c_{2},\,\ldots ,\,c_{m}\in K}$  也满足 ${\displaystyle c_{1}\cdot E_{1}+c_{2}\cdot E_{2}+\cdots +c_{m}\cdot E_{m}=v}$  的话，把这住两组基向量合并，并重新排列，于两组间重复的记为 ${\displaystyle w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B}}}$  ，其他不重复的部分，第一组的记为 ${\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B}}}$  ；而第二组的记为 ${\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B}}}$  ；然后设 ${\displaystyle w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B}}}$  于原来第一组对应的标量系数是 ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{l}\in K}$  ；原第二组则是对应 ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{l}\in K}$  。另外 ${\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B}}}$  对应的标量系数则为 ${\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n-l}\in K}$  ；${\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B}}}$  对应的标量系数则为 ${\displaystyle b_{1},\,b_{2},\,\ldots ,\,b_{m-l}\in K}$  ； 这样把 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$  的第一组线性组合表达式减去第二组会有

${\displaystyle \sum _{i=1}^{l}(\alpha _{i}-a_{i})\cdot w_{i}+\sum _{j=1}^{n-l}\beta _{j}\cdot v_{j}+\sum _{k=1}^{m-l}(-b_{k})\cdot u_{k}=0_{V}}$ 

这样依据线性无关，就有

${\displaystyle \alpha _{1}-a_{1}=\alpha _{2}-a_{2}=\cdots =\alpha _{l}-a_{l}=0_{K}}$ 

${\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\cdots =\beta _{n-l}=0_{K}}$ 

${\displaystyle b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{m-l}=0_{K}}$ 

这就确保任意 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$  的线性组合表达式都是用同一组的基向量，且其标量系数也是唯一的。

Schauder基

除了上小节单以线性组合定义的Hamel基，也有以无穷级数展开任意向量为动机来定义基。

${\displaystyle \mathrm {V} }$  是定义在域 ${\displaystyle K}$  上的巴拿赫空间（范数记为 ${\displaystyle \|v\|}$  ），若向量序列 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  满足：

• 对所有自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$  ，${\displaystyle e_{i}\neq 0_{V}}$  （也就是零向量不会在 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  里）
• 对每个 ${\displaystyle v\in \mathrm{V}}${\displaystyle v\in \mathrm {V} }   ，都存在唯一组标量${\displaystyle {\{\lambda _{i}\in K\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，使得对所有的 ${\displaystyle \epsilon >0}$  ，存在 ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$  使得 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  且 ${\displaystyle n>m}$  则 ${\displaystyle \left\|\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i}-v\right\|<\epsilon }$  （仿造数列极限而定义）

那向量序列 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  则被称为是向量空间 ${\displaystyle \mathrm {V} }$  的一组Schauder基。

第二项条件通常会简写为

对每个 ${\displaystyle v\in \mathrm{V}}${\displaystyle v\in \mathrm {V} }   ，都存在唯一组标量${\displaystyle {\{\lambda _{i}\in K\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，使 ${\displaystyle v=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i}}$ 

甚至写为

如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数[2]。

事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

设${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 是向量空间${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的子集。则${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 是基，当且仅当满足了下列任一条件：

• ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 是${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 的极小生成集，就是说只有${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 能生成${\displaystyle \mathrm {V} }$ ，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
• ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 是${\displaystyle \mathrm {V} }$ 中线性无关向量的极大集合，就是说${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 在${\displaystyle \mathrm {V} }$ 中是线性无关(线性独立)集合，而且${\displaystyle \mathrm {V} }$ 中没有其他线性无关(线性独立)集合包含它作为真子集。
• ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 中所有的向量都可以按唯一的方式表达为${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

例子

• 考虑所有坐标 (a, b)的向量空间R²，这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e₁ = (1,0)和e₂ = (0,1):假设v = (a, b)是R²中的向量，则v = a (1,0) + b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R²的一个基。

• 更一般的说，给定自然数n。n个线性无关的向量e₁, e₂, ..., e_n可以在实数域上生成Rⁿ。因此，它们也是的一个基而Rⁿ的维度是n。这个基叫做Rⁿ的标准基。

• 设V是由函数e^t和e^2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。

• 设R[x]指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x², ...)是R[x]的基。R[x]的维度的势因此等于${\displaystyle \aleph _{0}}$ .

在行向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中有单位行向量

${\displaystyle E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)}$ 

那么在该空间中，任意向量${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ ,都可以唯一表示成${\displaystyle X=x_{1}E_{(1)}+x_{2}E_{(2)}+...+x_{n}E_{(n)}}$ .然后我们可以看出，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 可以由它的向量子空间构成

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle =<E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}>}$ .

同样的，单位列向量就可以表达为${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle =[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}]}$ .

线性无关的单位行向量${\displaystyle E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}$ 生成${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . 那么${\displaystyle {E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}}$ 是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的基，称这个基为标准基.

如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ 是在向量空间${\displaystyle \mathrm {V} }$ 中的一个线性无关集合而集合${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ 是一个包含${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ 而且能够生成${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的集合，则存在${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的一组基${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ，它包含了${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ 而且是${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ 的子集：${\displaystyle {\mathfrak {L}}\subseteq {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {G}}}$ 。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那幺元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}$ 写成有序向量组：${\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}$ 。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设${\displaystyle \mathrm {V} }$ 是在域${\displaystyle \mathbb {F} }$ 上的n维向量空间。在${\displaystyle \mathrm {V} }$ 上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ 到${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的一个选定线性同构${\displaystyle \phi }$ 。

证明：这个证明利用了${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ 的标准基是有序基的事实。

首先假设

${\displaystyle \phi :\;\;\mathbb {F} ^{n}\rightarrow \mathrm {V} }$ 是线性同构。可以定义${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的一组有序基${\displaystyle \{v_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}}$ 如下：

${\displaystyle v_{i}=\phi (e_{i}),\;\;\forall i,\;1\leqslant i\leqslant n.}$ 

其中的${\displaystyle \{e_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}}$ 是${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ 的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射

φ(x) = x₁v₁ + x₂v₂ + ... + x_nv_n,

这里的x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n是Fⁿ的一个元素。不难检查出φ是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构Fⁿ → V。

确定自有序基{v_i}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标：如果对于向量v ∈ V, φ^-1(v) = (a₁, a₂,...,a_n) ∈ Fⁿ，则a_j = a_j(v)的分量是v的坐标，在v = a₁(v) v₁ + a₂(v) v₂ + ... + a_n(v) v_n的意义上。

从向量v到分量a_j(v)的映射是从V到F的线性映射，因为φ^-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基，叫做对偶基。

1. ^ 柯斯特利金.代数学引论（第二版）[M]高等教育出版社:53
2. ^ Lang, Serge. Linear algebra. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0-387-96412-6. 

• 线性代数
• 线性组合

• MIT Linear Algebra Lecture on Bases （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Google Video, from MIT OpenCourseWare