完整群

向量丛联络的和乐

设 M 为光滑流形，E 为其上的 k 维向量丛，∇ 为 E 上的联络。给定 M 上一点 x 和以 x 为基点的分段光滑环圈 γ : [0,1] → M, 该联络定义了一个平行移动映射 P_γ : E_x → E_x. 该映射是可逆线性映射，因此是一般线性群 GL(E_x) 的元素。∇ 以 x 为基点的和乐群定义为

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ 為 以}}\ \ x{\text{ 為 基 點 的 環 圈 }}\}.}$ 

以 x 为基点的限制和乐群是由可缩（英语：contractible）环圈 γ 给出的子群${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )}$ .

若 M 连通，则不同基点 x 的和乐群 仅相差 GL(k, R) 的共轭作用。更具体说，若 γ 为 M 中由 x 到 y 的路径，则

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.}$ 

选取 E_x 的另一组基（即以另一种方式将 E_x 视为与 R^k 等同）同样会使和乐群变成 GL(k, R) 中另一个共轭子群。非完全严格的讨论中（下同），可将基点略去，但倘如此行，则和乐群仅在共轭意义下有良好定义。

和乐群的重要性质包括：

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$  是 GL(k, R) 的连通李子群。
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$  是 ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )}$  的单位连通支（英语：identity component）。
• 存在自然的满群同态 ${\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),}$  其中 ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$  是 M 的基本群。该同态将同伦类 ${\displaystyle [\gamma ]}$  映到陪集 ${\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$ 
• 若 M 单连通，则 ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$ 
• ∇ 为平（即曲率恒零）当且仅当 ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$  为平凡群。

在物理学中，威尔森循环是 tr(P)（特征标理论的迹）。

主丛联络的和乐

主丛联络的和乐与向量丛相仿。设 G 为李群，P 为仿紧光滑流形 M 上的主 G 丛。设 ω 为 P 上的联络。给定 M 中一点 x, 以 x 为基点的分段光滑环圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纤维上一点 p, 该联络定义了唯一的水平提升 ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$  使得 ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=p.}$  水平提升的终点 ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$  未必是 p, 因为其可为 x 纤维上的另一点 p·g. 若两点 p 和 q 之间有分段光滑的水平提升路径连接，则称 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等价关系。

ω 以 p 为基点的和乐群定义为

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}$ 

若在定义中仅允许可缩（英语：contractible）环圈 γ 的水平提升，则得到以 p 为基点的受限和乐群 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ . 其为和乐群${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$  的子群。

若 M 和 P 皆连通，则不同基点 p 的和乐群仅在 G 互为共轭。更具体说，若 q 是另一个基点，则有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 于是，

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}$ 

特别地，

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}$ 

再者，若 p ~ q, 则 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).}$  因此，有时可省略基点不写，但须留意这会使得和乐群仅在共轭意义下有良好定义。

和乐群的若干性质包括：

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$  是 G 的连通李子群。
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$  是 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$  的单位连通支（英语：identity component）。
• 存在自然的满群同态${\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$ 
• 若 M 单连通，则 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$ 
• ω 为平（即曲率恒零）当且仅当 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$  为平凡群。

和乐丛

同上，设 M 为连通仿紧流形，P 为其上的主 G 丛，ω 为 P 上的联络。设 p ∈ P 为主丛上的任意一点。以 H (p) 表示 P 中可与 p 用水平曲线相连的点的集合。则可证明 H (p) 连同其到 M 的投影也构成 M 上的主丛，且具有结构群 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ （即 H (p) 是主 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$  丛）。 此主丛称为该联络 ω 经过 p 的和乐丛。ω 限制到 H (p) 上也是一个联络，因为其平行移动映射保持 H (p) 不变。故 H (p) 是该联络的约化主丛。此外，H (p) 任何真子丛都不被平行移动保持，所以其在该类约化主丛之中为最小。^[3]

与和乐群类似，和乐丛在环绕它的主丛 P 中等变。具体说，若 q ∈ P 是另一个基点，则有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假设，M 是路连通的）。故 H (q) = H (p) g. 于是，两者在和乐丛上导出的联络是相容的，即：两个联络的平行移动映射恰好相差了群元素 g.

单延拓群

和乐丛 H (p) 是主 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$  丛，因此受限和乐群 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ （作为全个和乐群的正规子群）也作用在 H (p) 上。离散群 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$  称为联络的单延拓（英语：Monodromy）群。其作用在商丛 ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$  上。存在满同态${\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),}$  使得 ${\displaystyle \varphi (\pi _{1}(M))}$  作用在 ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$  上。基本群的这个群作用称为基本群的单延拓表示。^[4]

局域及无穷小和乐

若 π: P → M 为主丛，ω 为 P 的联络，则 ω 的和乐可限制到 M 的开集的纤维上。若 U 为 M 的连通开集，则将 ω 限制到 U 上可得丛 π⁻¹U 的联络。该丛的和乐群记为 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U),}$  而受限和乐群则记为 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U),}$  其中 p 为满足 π(p) ∈ U 的点。

若 U ⊂ V 为包含 π(p) 的两个开集，则有包含关系

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$ 

p 点的局域和乐群定义为

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U_{k}),}$ 

其中 U_k 为任意一族满足 ${\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)}$  的递降（即 ${\displaystyle U_{k}\subset U_{k+1}\ \forall k}$  ）连通开集。

局域和乐群有以下性质：

1. 其为受限和乐群 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$  的连通李子群。
2. 每点 p 都有邻域 V 使得 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$  局域和乐群仅取决于 p, 而非序列 U_k 的选取。
3. 局域和乐群在结构群 G 的作用下等变，即对任意 g ∈ G, ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} (g^{-1})\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega ).}$ （注意由性质 1, 局域和乐群是 G 的连通李子群，故伴随 Ad 有定义。

局域和乐群不一定有全域的良好性质，例如流形的不同点上的局域和乐群不一定具有相同的维数。然而，有以下的定理：

• 若局域和乐群的维数恒定，则局域和乐群与受限和乐群相等，即${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$ 

英文Holonomy与“全纯”（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一词由柯西的两个学生夏尔·布里奥（法语：Charles Briot）（1817–1882）和让-克劳迪·波桂（法语：Jean-Claude Bouquet）（1819–1895）引入，来自希腊文ὅλος（holos）和μορφή（morphē），意思分别是“全”、“形态”。^[5]

"Holonomy"与"holomorphic"的前半（holos）一样。至于后半：

非常难在网络上找出holonomic（或holonomy）的词源。我找到（鸣谢普林斯顿的约翰·康威）：

我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他对刚体运动的分析用到它。这个理论中，若某种意义下，能够从一个系统的局域资讯得悉其全局资讯，就叫一个和乐的 （"holonomic"）系统，所以它的意思“整体法则”（"entire-law"）很贴切。球在桌上滚动并不和乐，因为沿不同的路径滚到同一点，可以使球的方向不同。然而，将“和乐”理解成“整体法则”恐怕有点过于简化。希腊文的"nom"词根有多层互相交织的意思，可能更多时解“数算”（counting）。它与我们的词数字"number"来自同一个印欧词根。

——S. Golwala^[6]

参见νόμος（nomos）和-nomy。

安布罗斯－辛格定理（得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer （1953））描述主丛联络的和乐与该联络的曲率形式之间的关系。为理解此定理，先考虑较熟知的情况，如仿射联络、切丛联络（或其特例列维－奇维塔联络）。沿无穷小平行四边形的边界走一圈，就会感受到曲率。

引入更多细节，若${\displaystyle \sigma :[0,1]\times [0,1]\to M}$ 是${\displaystyle M}$ 中某曲面的坐标表示，则向量${\displaystyle V}$ 可以沿${\displaystyle \sigma }$ 的边界平行移动，由原点出发，先沿${\displaystyle (x,0)}$ ，再沿${\displaystyle (1,y)}$ ，再${\displaystyle (x,1)}$ （${\displaystyle x}$ 反方向，即由${\displaystyle 1}$ 递减至${\displaystyle 0}$ ），最后${\displaystyle (0,y)}$ ，回到原点。此为和乐环圈的特例，因为向量${\displaystyle V}$ 沿该圈平行移动的结果，相当于${\displaystyle \sigma }$ 边界的提升，对应的和乐群元素，作用在${\displaystyle V}$ 上。当平行四边形缩至无穷小时（即沿更小的平行四边形圈，对应${\displaystyle \sigma }$ 坐标中的区域${\displaystyle [0,x]\times [0,y]}$ ，而${\displaystyle x,y}$ 趋向于${\displaystyle 0}$ ），就会明确得到曲率。换言之，取平行移动映射于${\displaystyle x=y=0}$ 处的导数：

${\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}$ 

其中${\displaystyle R}$ 为曲率张量。^[7]所以，粗略而言，曲率给出闭环圈（无穷小平行四边形）上的无穷小和乐。更严格地，曲率是和乐作用于和乐群单位元处的导数。换言之，${\displaystyle R(X,Y)}$ 是${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ 的李代数的元素。

一般来说，考虑结构群为${\displaystyle G}$ 的主丛${\displaystyle P\to M}$ 某联络的和乐。以${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 表示${\displaystyle G}$ 的李代数，则联络的曲率形式是${\displaystyle P}$ 上的${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 值2-形式${\displaystyle \Omega }$ 。安布罗斯－辛格定理断言：^[8]

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ 的李代数，是由${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 中所有形如${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$ 的元素线性张成，其中${\displaystyle q}$ 取遍所有可以用水平曲线${\displaystyle (q\sim p)}$ 与${\displaystyle p}$ 连接的点，而${\displaystyle X,Y}$ 皆是${\displaystyle q}$ 处的水平切向量。

亦可用和乐丛的说法，复述如下：^[9]

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ 的李代数，是${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 中形如${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$ 的元素张成的线性子空间，其中${\displaystyle q}$ 取遍${\displaystyle H(p)}$ 的元素，而${\displaystyle X,Y}$ 取遍${\displaystyle q}$ 处的水平向量。

可约和乐与德拉姆分解

设${\displaystyle x\in M}$ 为任意一点，则和乐群${\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}$ 作用在切空间${\displaystyle T_{x}M}$ 上。视之为群的表示，则可能不可约，亦可能可约，即可以将${\displaystyle T_{x}M}$ 分解成正交子空间的直和

${\displaystyle T_{x}M=T'_{x}M\oplus T''_{x}M,}$ 

而两个子空间皆在${\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}$ 作用下不变。此时亦称${\displaystyle M}$ 可约。

设${\displaystyle M}$ 为可约流形。上式说明，在每一点${\displaystyle x}$ 处，切空间可以约化分解成${\displaystyle T'_{x}M}$ 和${\displaystyle T''_{x}M}$ ，所以当${\displaystyle x}$ 变动时，就定义出向量丛${\displaystyle T'M}$ 和${\displaystyle T''M}$ ，两者皆光滑分布，且是弗比尼斯可积。两个分布的积分流形（英语：integral manifold）皆为完全测地（英语：Totally geodesic）子流形，换言之，子流形的测地线皆为原流形的测地线。所以局部观察${\displaystyle M}$ ，是笛卡尔积${\displaystyle M'\times M''}$ 。重复上述分解，直到切空间完全约化，则得到（局部）德拉姆同构：^[10]

设${\displaystyle M}$ 为单连通黎曼流形，^[11]又设在和乐群的作用下，${\displaystyle TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M}$ 为切丛的完全约化分解，而和乐群在${\displaystyle T^{(0)}M}$ 上的作用平凡（恒等映射），则${\displaystyle M}$ 局部等距同构于乘积

${\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}$ 

其中${\displaystyle V_{0}}$ 是欧氏开集，而每个${\displaystyle V_{i}}$ 是${\displaystyle T^{(i)}M}$ 的积分流形。更甚者，${\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}$ 是${\displaystyle \mathrm {Hol} (M_{i})}$ 的直积（${\displaystyle M_{i}}$ 是${\displaystyle T^{(i)}}$ 过某点的极大积分流形）。

若同时假设${\displaystyle M}$ 测地完备（英语：geodesically complete）（每点每个方向的测地线皆可无限延伸），则定理不仅局部成立，而是全域成立，且各${\displaystyle M_{i}}$ 本身也是测地完备流形。^[12]

伯格分类

1955年，马塞尔·伯格（英语：Marcel Berger）将不可约（并非局部等同积空间）、非对称（并非局部地黎曼对称（英语：Riemannian symmetric space））、单连通的黎曼流形，可能具有的和乐群，完全分类。伯格分类表如下：

1965年，爱德蒙·博南（英语：Edmond Bonan）及Vivian Yoh Kraines同时研究和乐群为${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)}$ 的流形，构造出其平行4形式。

爱德蒙·博南（英语：Edmond Bonan）于1966年最早引入和乐群为${\displaystyle G_{2}}$ 或${\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}$ 的流形，他构造出全部平行形式，并证明该些流形皆为里奇平。

伯格原先的表中，未排除${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$ （作为${\displaystyle SO(16)}$ 的子群）。后来，迪米特里·阿列克谢耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，与布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分别证明具此和乐群的黎曼流形必然局部对称，即与凯莱平面（英语：Cayley plane）${\displaystyle F_{4}/\mathrm {Spin} (9)}$ 局部等距同构，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，现已确实知道是某黎曼流形的和乐群。末尾两个例外情况的流形最难发现，见${\displaystyle G_{2}}$ 流形（英语：G2 manifold）和${\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}$ 流形（英语：Spin(7) manifold）。

注意${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)}$ ，故超凯勒流形（英语：hyperkähler manifold）必为卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必为凯勒，而凯勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的证明解释。另有一个简单几何证明，由卡洛斯·奥尔莫斯（Carlos E. Olmos）于2005年给出。^[13]第一步要证，若黎曼流形并非局部对称空间（英语：locally symmetric space），而约化和乐在切空间上的作用不可约，则递移地作用在单位球面上。但已知有何种李群递移作用于球面：上表所列各项，以及两个额外情况，分别是${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$ （作用于${\displaystyle \mathbb {R} ^{16}}$ ），以及${\displaystyle U(1)\cdot \mathrm {Sp} (m)}$ （作用于${\displaystyle \mathbb {R} ^{4m}}$ ）。最后，要验证前者只能作为局部对称空间（局部同构于的凯莱射影平面（英语：Cayley projective plane））的和乐群，而后者则根本不能作为和乐群出现。

伯格的原分类，尚有涵盖非正定的伪黎曼度量，其给出非局部对称和乐的可能列表为：

但是，标${\displaystyle (*)}$ 的两种和乐群（分裂${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$ 及复化${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$ ），如同正定的情况，只能在局部对称空间出现，故应予删去。至于复化和乐群${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} ),G_{2}(\mathbb {C} ),\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )}$ 三种，可以将实解析黎曼流形复化得到。而和乐群为${\displaystyle SO(n,\mathbb {H} )}$ 子群的流形，R. McLean证明其为局部平。^[14]

对称黎曼空间，因为局部与齐性空间${\displaystyle G/H}$ 同构，其局部和乐群同构于${\displaystyle H}$ ，经已分类完毕。

最后，伯格的论文亦有列举仅得无挠仿射联络的流形的可能和乐群，见下节。

特殊和乐及旋量

一些流形具特殊的和乐，该性质亦可藉平行旋量是否存在来刻划（平行旋量即协变导数为零的旋量场），^[15]尤其有以下各项命题成立：

• ${\displaystyle \mathrm {Hol} (\omega )\subseteq U(n)}$ ，当且仅当${\displaystyle M}$ 上存在平行的射影纯旋量场。
• 若${\displaystyle M}$ 为旋量流形（英语：spin structure），则${\displaystyle \mathrm {Hol} (\omega )\subseteq SU(n)}$ ，当且仅当${\displaystyle M}$ 具有至少两个线性独立的平行纯旋量场。事实上，平行纯旋量场足以确定由结构群到${\displaystyle SU(n)}$ 的典范归约。
• 若${\displaystyle M}$ 是七维旋量流形，则${\displaystyle M}$ 具有非平凡平行旋量场，当且仅当和乐群是${\displaystyle G_{2}}$ 的子群。
• 若${\displaystyle M}$ 为八维旋量流形，则${\displaystyle M}$ 具有非平凡平行旋量场，当且仅当和乐群是${\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}$ 的子群。

幺正与特殊幺正和乐经常连带扭量理论^[16]、殆复流形^[15]一同研究。

应用

弦论

具特殊和乐的黎曼流形，对弦论紧化很重要。^[17]原因是，特殊和乐流形上，存在共变常值（即平行）旋量，于是保一部分超对称。较重要的紧化是在具${\displaystyle SU(2)}$ 或${\displaystyle SU(3)}$ 和乐的卡拉比–丘流形上，以及${\displaystyle G_{2}}$ 流形（英语：G2 manifold）上。

机器学习

在机器学习，尤其流形学习（英语：manifold learning）方面，曾有人提出，藉计算黎曼流形的和乐，得出数据流形的结构。由于和乐群包含数据流形的全域结构，其适用于判断数据流形可能如何分解成子流形之积。由于取样有限，无法完全准确计算出和乐群，但利用来自谱图论的思想（类似向量扩散映射（英语：Diffusion map）），有可能构造出数值近似。所得的算法“几何流形分量估计量”（英语：Geometric Manifold Component Estimator，简写GeoManCEr“探地者”），能给出德拉姆分解的数值近似，并应用于现实数据。^[18]

仿射和乐群（英语：affine holonomy groups），是无挠仿射联络的和乐群；其中一些不能作为（伪）黎曼和乐群出现，称为非度量和乐群（英语：non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不适用于仿射和乐群，所以离完成分类尚有很远，但仍可以将不可约的仿射和乐分类。

伯格在证明黎曼和乐分类定理的过程中，发现对于非局部对称（英语：symmetric space）的无挠仿射联络而言，和乐群的李代数必定符合两个条件。伯格第一准则（英语：Berger's first criterion）是安布罗斯－辛格定理（即曲率张量生成和乐的李代数，见前节）的后果；而第二准则，来自联络非局部对称的条件。伯格列举了满足此两个准则，且作用不可约的群，可以视之为不可约仿射和乐群的可能情况表。

但伯格的列表，其后证实并未齐全。罗伯特·布莱恩特（英语：Robert Bryant (mathematician)）（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有时称为“怪和乐”（exotic holonomies）。努力搜索例子之后，最终由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可约仿射和乐群的分类，而反方向的结果则由布莱恩特（2000年）证明，即列表上所有群皆确实能作为仿射和乐群。

观察到表中的群和埃尔米特对称空间（英语：hermitian symmetric space）、四元数凯勒对称空间（英语：quaternion-Kähler symmetric space）之间有联系之后，Merkulov–Schwachhöfer分类会变得更清晰。此种联系在复仿射和乐的情况尤其明确，见于Schwachhöfer（2001）。

设${\displaystyle V}$ 为有限维复向量空间，${\displaystyle H\subseteq \mathrm {Aut} (V)}$ 为不可约半单复连通李子群，又设${\displaystyle K\subseteq H}$ 为极大紧子群。

1. 若有不可约埃尔米特对称空间形如${\displaystyle G/(U(1)\cdot K)}$ ，则${\displaystyle H}$ 和${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\cdot H}$ 两者皆为非对称不可约仿射和乐群，其中${\displaystyle V}$ 为${\displaystyle K}$ 的切表示。
2. 若有不可约四元数凯勒对称空间形如${\displaystyle G/(\mathrm {Sp} (1)\cdot K)}$ ，则${\displaystyle H}$ 为非对称不可约仿射和乐群，而当${\displaystyle \dim V=4}$ 时，${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\cdot H}$ 亦然。此时，${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\cdot K}$ 的复化切表示是${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes V}$ ，而${\displaystyle H}$ 保${\displaystyle V}$ 上某个复辛形式。

上述两族已涵盖大部分非对称不可约复仿射和乐群，例外仅有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}$ 

利用埃尔米特对称空间的分类，第一族的复仿射和乐群有：

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot E_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}}$ 

其中${\displaystyle Z_{\mathbb {C} }}$ 可取平凡群，亦可取为${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ 。

同样，用四元数凯勒对称空间的分类，第二族复辛和乐群有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}}$ 

（第二行中，${\displaystyle Z_{\mathbb {C} }}$ 必须取为平凡群，除非${\displaystyle n=2}$ ，此时可取为${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ 。）

从以上各列表，可以观察出一个结论，类似西蒙斯断言黎曼和乐群递移作用于球面：复和乐表示皆为预齐性向量空间（英语：prehomogeneous vector space）。但是，未知此事实的概念性证明。

不可约实仿射和乐的分类，用“实仿射和乐复化成复仿射和乐”此结论，结合上表，仔细分析便得。

• A-B效应

• Agricola, Ilka. The Srni lectures on non-integrable geometries with torsion [Srní讲座：论有挠不可积几何]. Arch. Math. 2006, 42: 5–84. arXiv:math/0606705   （英语）. 
• Ambrose, Warren; Singer, Isadore. A theorem on holonomy [关于和乐的定理]. Transactions of the American Mathematical Society. 1953, 75 (3): 428–443. JSTOR 1990721. doi:10.2307/1990721 （英语）. 
• Baum, H.; Friedrich, Th.; Grunewald, R.; Kath, I. Twistors and Killing spinors on Riemannian manifolds [黎曼流形上的扭量与基灵旋量]. B.G. Teubner. 1991 （英语）. 
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